สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

เรขาคณิตวิเคราะห์ — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 52 ข้อ จาก 25 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์

จุด เส้นตรง และระยะทาง

  • ระยะระหว่างจุด (x₁, y₁) กับ (x₂, y₂) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
  • จุดกึ่งกลาง = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
  • ความชัน m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) · เส้นขนาน: ความชันเท่ากัน · เส้นตั้งฉาก: m₁ × m₂ = −1
  • สมการเส้นตรงผ่านจุด (x₁, y₁) ความชัน m: y − y₁ = m(x − x₁)
  • ระยะจากจุด (x₁, y₁) ถึงเส้น Ax + By + C = 0 เท่ากับ |Ax₁ + By₁ + C| ÷ √(A² + B²)
  • ระยะระหว่างเส้นขนาน Ax + By + C₁ = 0 กับ Ax + By + C₂ = 0 เท่ากับ |C₁ − C₂| ÷ √(A² + B²) — ต้องทำสัมประสิทธิ์ของ x และ y ให้เท่ากันก่อน
  • วงกลมสัมผัสเส้นตรง ⇒ รัศมี = ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นนั้น

วงกลม

  • (x − h)² + (y − k)² = r² มีจุดศูนย์กลาง (h, k) รัศมี r
  • ถ้าให้รูปกระจาย x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ให้จัดกำลังสองสมบูรณ์ทีละตัวแปรเพื่อหาจุดศูนย์กลางและรัศมี

พาราโบลา

  • จุดยอด (h, k) แกนสมมาตรขนานแกน y: (x − h)² = 4c(y − k) เปิดขึ้นเมื่อ c > 0 เปิดลงเมื่อ c < 0
  • จุดยอด (h, k) แกนสมมาตรขนานแกน x: (y − k)² = 4c(x − h) เปิดขวาเมื่อ c > 0 เปิดซ้ายเมื่อ c < 0
  • โฟกัสอยู่ห่างจุดยอด |c| ไปทางที่พาราโบลาเปิด · ไดเรกตริกซ์อยู่ห่าง |c| ไปทางตรงข้าม · ลาตัสเรกตัมยาว |4c|
  • ทุกจุดบนพาราโบลาห่างจากโฟกัสเท่ากับห่างจากไดเรกตริกซ์ ⇒ จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกตริกซ์

วงรี

  • จุดศูนย์กลาง (h, k) แกนเอกขนานแกน x: (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 โดย a > b · แกนเอกขนานแกน y ให้ย้าย a² ไปอยู่ใต้ (y − k)²
  • จุดยอดห่างจุดศูนย์กลาง a · โฟกัสห่าง c โดย c² = a² − b² · แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b
  • จุดศูนย์กลาง = จุดกึ่งกลางของจุดยอดทั้งสอง · รู้จุดที่วงรีผ่าน ให้แทนค่าลงสมการเพื่อหาค่าที่เหลือ

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

จุด A(18, t) และ B(3, 3) อยู่ห่างกัน 17 หน่วย ผลบวกของค่า t ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด

-5
16
6
0
11
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ค 6

หาค่าจากข้อมูล

สูตรระยะให้ (t − 3)² + (18 − 3)² = 17²

คำนวณตามความสัมพันธ์

จึง (t − 3)² = 64 และ t = −5 หรือ 11

สรุปผล

ต้องรวมทั้งสองค่า ได้ผลบวก 6

= 6

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · เก็บเฉพาะรากด้านลบ

เก็บเฉพาะรากด้านลบ ทำให้ได้ -5 แก้โดย ต้องรวมค่าทั้งหมดตามโจทย์

ข · หาผลต่างแทนผลบวกราก

หาผลต่างแทนผลบวกราก ทำให้ได้ 16 แก้โดย อ่านสิ่งที่ถามและรวมรากพร้อมเครื่องหมาย

ง · ลืมบวกพิกัดของ B คืนหลังถอดราก

ลืมคืนพิกัด h หลังถอดราก ทำให้ได้ 0 แก้โดย รากเป็น h±u ไม่ใช่ ±u

จ · เก็บเฉพาะรากด้านบวก

เก็บเฉพาะรากด้านบวก ทำให้ได้ 11 แก้โดย เครื่องหมาย ± ให้คำตอบสองค่า

ข้อ 2

จุด P(1, 1), Q(4, 3), R(1, 0) เป็นจุดกึ่งกลางของ AB, BC, CA ตามลำดับ ถ้า A=(a₁, a₂), B=(b₁, b₂), C=(c₁, c₂) แล้ว a₁ + b₂ − c₁ เท่ากับเท่าใด

3
-4
8
-2
-1
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ง -2

หาค่าจากข้อมูล

จาก A + B = 2P, B + C = 2Q และ C + A = 2R กู้จุดยอดได้

คำนวณตามความสัมพันธ์

A = P + R − Q = (-2, -2), B = P + Q − R = (4, 4), C = Q + R − P = (4, 2)

สรุปผล

แทนพิกัดได้ a₁ + b₂ − c₁ = -2

= -2

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ถือจุดกึ่งกลางเป็นจุดยอด

ถือจุดกึ่งกลางเป็นจุดยอด ทำให้ได้ 3 แก้โดย แยกข้อมูลจุดกึ่งกลางกับสิ่งที่ต้องหา

ข · คูณสองซ้ำหลังแก้ระบบจุดกึ่งกลาง

คูณสองซ้ำหลังแก้ระบบจุดกึ่งกลาง ทำให้ได้ -4 แก้โดย ตัวประกอบ 2 ถูกตัดแล้วเมื่อแก้ระบบ

ค · จับคู่จุดกึ่งกลางกับจุดยอดผิดตัว

จับคู่จุดกึ่งกลางกับจุดยอดผิดตัว ทำให้ได้ 8 แก้โดย จุดยอดได้จากผลบวกสองจุดกึ่งกลางที่อยู่ติดจุดยอดนั้นลบจุดกึ่งกลางที่เหลือ

จ · หารสองซ้ำหลังหาจุดยอดได้แล้ว

หารสองซ้ำหลังหาจุดยอดได้แล้ว ทำให้ได้ -1 แก้โดย จุดยอด = P + R − Q ไม่ต้องหาร 2

ข้อ 3

จุด (64, t) และ (t, -1) อยู่บนพาราโบลา x = qy² โดย q > 0 วงรีมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด แกนเอกขนานแกน x ยาว 10 หน่วย และระยะระหว่างโฟกัสเท่ากับส่วนกลับของความยาวลาตัสเรกตัมพาราโบลา สมการวงรีคือข้อใด

x²/25 + y²/9 = 1
x²/25 + y²/29 = 1
x²/21 + y²/25 = 1
x²/100 + y²/96 = 1
x²/25 + y²/21 = 1
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ จ x²/25 + y²/21 = 1

หาค่าจากข้อมูล

แทนสองจุดได้ t = q และ 64 = q³ จึง q = 4

คำนวณตามความสัมพันธ์

ลาตัสเรกตัมพาราโบลายาว 1/q = 1/4 จึง 2c = 4

สรุปผล

a = 5 และ b² = a² − c² = 21

ตอบตามเงื่อนไข

ตามแนวแกนที่กำหนด ได้ x²/25 + y²/21 = 1

= x²/25 + y²/21 = 1

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ใช้ระยะระหว่างโฟกัสเป็น c

ใช้ระยะระหว่างโฟกัสเป็น c ทำให้ได้ x²/25 + y²/9 = 1 แก้โดย ระยะโฟกัสสองจุดเท่ากับ 2c

ข · ใช้ผลบวกแทนผลต่างหากึ่งแกนโท

ใช้ผลบวกแทนผลต่างหากึ่งแกนโท ทำให้ได้ x²/25 + y²/29 = 1 แก้โดย วงรีมี a²=b²+c²

ค · สลับตัวส่วนของวงรี

สลับตัวส่วนของวงรี ทำให้ได้ x²/21 + y²/25 = 1 แก้โดย ตัวส่วนใหญ่ต้องอยู่ตามแนวแกนเอก

ง · ใช้ความยาวแกนเอกเป็น a

ใช้ความยาวแกนเอกเป็น a ทำให้ได้ x²/100 + y²/96 = 1 แก้โดย หารความยาวแกนเอกด้วยสอง

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์

ไม่ถอดรากตัวส่วน

ตัวส่วนต้องเป็นรากที่สองของผลบวกกำลังสองของสัมประสิทธิ์ x และ y

ไม่ถอดรากผลบวกกำลังสองของสัมประสิทธิ์

ถอดรากที่สองของผลบวกกำลังสองของสัมประสิทธิ์ก่อนนำไปใช้

ใช้ระยะถึงภาพสะท้อนแทนระยะถึงเส้น

ระยะถึงเส้นเป็นครึ่งหนึ่งของระยะถึงภาพสะท้อนในเส้น

หารด้วยผลบวกกำลังสองโดยไม่ถอดราก

ตัวส่วนเป็นรากของผลบวกกำลังสอง

ใช้ผลบวกค่าสัมบูรณ์เป็นความยาวเวกเตอร์

ใช้พีทาโกรัสกับเวกเตอร์ตั้งฉาก

อ่านเครื่องหมายศูนย์กลางกลับ

พิกัดศูนย์กลางได้จากสัมประสิทธิ์ของ x และ y หารด้วย −2 เช่น −6x ให้พิกัด x เท่ากับ 3

ฝึกเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)