ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

สมการเลขยกกำลัง

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^(1/n) คือรากที่ n ของ a
• ทำฐานให้เท่ากันก่อน (4 = 2² · 8 = 2³ · 27 = 3³ · 0.25 = 2⁻²) แล้วเทียบเลขชี้กำลัง: aˣ = aʸ ⇒ x = y (a > 0, a ≠ 1)
• สมการรูป 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0 ให้ตั้ง t = 2ˣ ได้สมการกำลังสองของ t แล้วทิ้งค่า t ที่ ≤ 0 เพราะ 2ˣ เป็นบวกเสมอ
• 6ˣ = 2ˣ × 3ˣ · 36ˣ = (6ˣ)² ⇒ โจทย์ให้ 4ˣ กับ 9ˣ แล้วถาม 6ˣ ใช้ 4ˣ × 9ˣ = 36ˣ = (6ˣ)²

ลอการิทึม

• logₐ b = c ก็ต่อเมื่อ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N · logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N · logₐ Mᵖ = p logₐ M — ใช้ได้เมื่อ M, N > 0
• logₐ a = 1 · logₐ 1 = 0 · a^(logₐ x) = x
• เปลี่ยนฐาน: logₐ b = log b ÷ log a ⇒ logₐ b × (log ฐาน b ของ c) = logₐ c และ logₐ b = 1 ÷ (log ฐาน b ของ a)
• log (ฐาน 10) ที่โจทย์มักให้: log 2 ≈ 0.3010 · log 3 ≈ 0.4771 ⇒ log 5 = 1 − log 2 ≈ 0.6990
• แอนติลอการิทึม: log x = 2.4771 ⇒ x = 10² × 10^0.4771 ≈ 100 × 3 = 300

กับดักที่ทำให้ผิดทั้งข้อ

• แก้สมการลอการิทึมเสร็จแล้วต้องตรวจคำตอบกับสมการตั้งต้น (ไม่ใช่สมการที่แปลงแล้ว): ค่าข้างใน log ทุกตัวต้อง > 0 คำตอบที่ทำให้เป็นศูนย์หรือติดลบต้องตัดทิ้ง
• log x² ≠ 2 log x เมื่อ x อาจติดลบ — ที่ถูกคือ log x² = 2 log |x| · เช่น log x² = 2 มีคำตอบ x = 10 และ x = −10
• log(M + N) ≠ log M + log N · (log M)² ≠ 2 log M
• ลอการิทึมซ้อนหลายชั้น แก้จากชั้นนอกเข้าใน: log₂(log₃(log₄ x)) = 0 ⇒ log₃(log₄ x) = 1 ⇒ log₄ x = 3 ⇒ x = 64
• โจทย์ถาม "คำตอบอยู่ในช่วงใด" หา x ให้ได้ก่อน แล้วค่อยเทียบช่วง อย่าเดาจากหน้าตาสมการ