ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

ความสัมพันธ์แบบไหนเป็นฟังก์ชัน

• ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเมื่อ x แต่ละตัวจับคู่กับ y ได้ตัวเดียว — มี (1, 2) กับ (1, 3) อยู่ด้วยกัน = ไม่เป็นฟังก์ชัน
• ดูจากกราฟ: ลากเส้นตั้งฉากกับแกน x ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุดเมื่อไหร่ = ไม่เป็นฟังก์ชัน
• ตัวอย่างที่ไม่เป็นฟังก์ชัน: x² + y² = 4 · x = y² · |y| = x (x ตัวเดียวได้ y สองค่า)
• ตัวอย่างที่เป็นฟังก์ชัน: y = x² · y = |x| · y = √x

โดเมนและเรนจ์

• โดเมน = ค่า x ที่ใช้ได้ · เรนจ์ = ค่า y ที่ได้ออกมา
• ข้อห้ามที่เจอบ่อย: ในรากที่สองต้อง ≥ 0 · ตัวส่วนต้อง ≠ 0
• ฟังก์ชันกำลังสอง y = a(x − h)² + k: ถ้า a > 0 เรนจ์คือ [k, ∞) · ถ้า a < 0 เรนจ์คือ (−∞, k]

อินเวอร์ส

• อินเวอร์สของความสัมพันธ์ = สลับ x กับ y ในทุกคู่อันดับ · โดเมนของ r⁻¹ = เรนจ์ของ r
• หาสูตร f⁻¹: เขียน y = f(x) สลับ x กับ y แล้วแก้หา y
• f⁻¹(a) = b ก็ต่อเมื่อ f(b) = a — ถามค่าที่จุดเดียว แก้ f(b) = a ก็พอ ไม่ต้องหาสูตร f⁻¹ ทั้งอัน
• อินเวอร์สของฟังก์ชันอาจไม่เป็นฟังก์ชัน เช่น y = x² บนจำนวนจริงทั้งหมด

ฟังก์ชันประกอบ

• (f∘g)(x) = f(g(x)) — ทำ g ก่อน แล้วเอาผลไปใส่ f · โดยทั่วไป f∘g ≠ g∘f
• โดเมนของ f∘g: x ต้องอยู่ในโดเมนของ g และ g(x) ต้องอยู่ในโดเมนของ f
• (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ (สลับลำดับ)
• รู้ f กับ f∘g แล้วถาม g(a): ตั้ง f(g(a)) = (f∘g)(a) แล้วแก้หา g(a)
• โจทย์ให้ f(x + 1) = … : ตั้ง t = x + 1 (x = t − 1) แทนลงไปแล้วจัดรูปเป็น f(t)
• f·g คือผลคูณ (f·g)(x) = f(x) × g(x) — คนละอย่างกับ f∘g