สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 160 ข้อ จาก 25 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องเรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม)

หัวข้อนี้ออกมากที่สุดในข้อสอบคณิต (ประมาณ 7 ข้อต่อปี) และเกือบทุกข้อมีรูป — วาดรูปตามโจทย์ทุกครั้ง แล้วเขียนตัวเลขที่รู้ลงบนรูป

มุม

  • มุมรอบจุด 360° · มุมตรง 180° · มุมภายในสามเหลี่ยมรวม 180°
  • มุมภายนอกของสามเหลี่ยม = ผลบวกของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกับมันเอง
  • เส้นขนานถูกเส้นตัด: มุมแย้งเท่ากัน · มุมสมนัยเท่ากัน · มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันรวม 180°
  • เส้นหักระหว่างเส้นขนานสองเส้น: ลากเส้นขนานเพิ่มผ่านจุดหัก แล้วใช้มุมแย้งทีละช่วง
  • รูป n เหลี่ยม มุมภายในรวม (n − 2) × 180° · หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มุมละ 120°
  • สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: มุมที่ฐานเท่ากัน · สามเหลี่ยมด้านเท่า: ทุกมุม 60°

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

  • c² = a² + b² (c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก) · ชุดที่เจอบ่อย 3-4-5 · 5-12-13 · 8-15-17 · 7-24-25 และพหุคูณของมัน
  • สามเหลี่ยม 30°-60°-90° ด้านยาว 1 : √3 : 2 · สามเหลี่ยม 45°-45°-90° ด้านยาว 1 : 1 : √2
  • สามเหลี่ยมด้านเท่ายาว a: สูง (√3/2)a · พื้นที่ (√3/4)a²
  • ส่วนสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก = (ผลคูณของสองด้านที่ประกอบมุมฉาก) ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ความคล้าย

  • สามเหลี่ยมคล้ายกัน ⇒ ด้านที่สมนัยกันเป็นอัตราส่วนเดียวกัน · มุมเท่ากันสองคู่ก็พอบอกว่าคล้าย
  • เส้นที่ขนานกับฐานตัดสามเหลี่ยม ได้สามเหลี่ยมเล็กที่คล้ายกับรูปเดิม
  • อัตราส่วนพื้นที่ = กำลังสองของอัตราส่วนด้าน (ด้าน 1 : 2 ⇒ พื้นที่ 1 : 4)
  • สามเหลี่ยมที่สูงเท่ากัน อัตราส่วนพื้นที่ = อัตราส่วนฐาน · เส้นมัธยฐาน (ลากจากจุดยอดไปจุดกึ่งกลางด้านตรงข้าม) แบ่งพื้นที่ครึ่งพอดี

วงกลม

  • เส้นรอบวง 2πr · พื้นที่ πr² · ส่วนโค้งที่รองรับมุม θ ยาว (θ/360) × 2πr · พื้นที่เซกเตอร์ (θ/360) × πr²
  • มุมที่จุดศูนย์กลาง = 2 เท่าของมุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน · มุมในครึ่งวงกลม = 90°
  • มุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน · สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม มุมตรงข้ามรวมกัน 180°
  • เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส · เส้นสัมผัสสองเส้นที่ลากจากจุดภายนอกจุดเดียวกันยาวเท่ากัน
  • มุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ด = มุมในส่วนโค้งที่อยู่ฝั่งตรงข้าม (ครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับคอร์ดนั้น)
  • หกเหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลม: แต่ละด้านยาวเท่ารัศมี

พื้นที่แรเงา

  • พื้นที่แรเงา = พื้นที่รูปใหญ่ที่รู้สูตร − พื้นที่ส่วนที่ไม่แรเงา · พื้นที่ส่วนของวงกลมที่ถูกคอร์ดตัด (ด้านเล็ก) = เซกเตอร์ − สามเหลี่ยม
  • รูปที่มีวงกลมหลายวง: ลากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลาง จะได้สามเหลี่ยม/สี่เหลี่ยมที่ใช้พีทาโกรัสได้

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

วงกลมมี O เป็นจุดศูนย์กลาง จุด A B และ C อยู่บนวงกลม โดย C อยู่บนส่วนโค้งใหญ่ AB ถ้า ∠AOB = 96° แล้ว ∠ACB มีขนาดกี่องศา

มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้ง และสามเหลี่ยมหน้าจั่วจากรัศมี
48°
66°
84°
96°
132°
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก 48°

หลักการ

มุมในส่วนโค้งเป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน และรัศมีสองด้านทำสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนวณ

ส่วนโค้ง AB ที่ไม่ผ่าน C มีขนาด 96°

คำนวณ

∠ACB = 96/2 = 48°

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · ใช้มุมในส่วนโค้งเป็นมุมยอดของ △OAB

ใช้มุมในส่วนโค้งเป็นมุมยอดของ △OAB จึงได้ 66°

ค · ตอบ 180 − ∠AOB โดยไม่แบ่งให้สองมุมฐาน

ตอบ 180 − θ โดยไม่แบ่งให้สองมุมฐาน จึงได้ 84°

ง · ตอบมุมที่จุดศูนย์กลางแทน

ตอบมุมที่จุดศูนย์กลางแทน จึงได้ 96°

จ · สลับส่วนโค้งใหญ่กับส่วนโค้งเล็ก

สลับส่วนโค้งใหญ่กับส่วนโค้งเล็ก จึงได้ 132°

ข้อ 2

ครึ่งวงกลมมี O เป็นจุดศูนย์กลางและ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จุด C อยู่บนส่วนโค้ง CD ⊥ AB ที่ D โดย D อยู่ระหว่าง A กับ O AD = 9 หน่วย และ DB = 25 หน่วย แล้ว CD ยาวกี่หน่วย

ครึ่งวงกลมกับเส้นตั้งฉากจากส่วนโค้งลงเส้นผ่านศูนย์กลาง CD² = AD·DB ตั้งสมการใน x แล้วหารัศมี
√34
7.5
15
3√34
225
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ค 15

หลักการ

มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก และสามเหลี่ยมคล้ายให้ CD² = AD × DB

คำนวณ

CD² = 9 × 25 = 225

คำนวณ

CD = √225 = 15

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ใช้ผลบวกแทนผลคูณ

ใช้ผลบวกแทนผลคูณ จึงได้ √34

ข · หารครึ่งคอร์ดด้วยสองอีกครั้ง

หารครึ่งคอร์ดด้วยสองอีกครั้ง จึงได้ 7.5

ง · ใช้ AB แทน DB ในผลคูณ

ใช้ AB แทน DB ในผลคูณ จึงได้ 3√34

จ · ใช้ CD = AD·DB โดยไม่ถอดราก

ใช้ CD = AD × DB โดยไม่ถอดราก จึงได้ 225

ข้อ 3

△ABC มีจุด D อยู่ภายใน BC และจุด P อยู่ภายใน AD พื้นที่ △ABD = 22 ตารางหน่วย พื้นที่ △ADC = 33 ตารางหน่วย และพื้นที่ △PBD = 12 ตารางหน่วย พื้นที่ △ABP รวมกับพื้นที่ △APC เท่ากับกี่ตารางหน่วย

สามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน พื้นที่แปรตามฐาน ไล่พื้นที่ย่อยเป็นลูกโซ่
25
30
31
35
43
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก 25

หลักการ

สามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากันมีอัตราส่วนพื้นที่เท่ากับอัตราส่วนฐาน

คำนวณ

BD : DC = 22 : 33 จึงได้พื้นที่ △PDC = 12 × 33/22 = 18

คำนวณ

พื้นที่ △ABP = 22 − 12 = 10 และพื้นที่ △APC = 33 − 18 = 15

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · ตอบพื้นที่ส่วนที่ต้องหักออก

ตอบพื้นที่ส่วนที่ต้องหักออก จึงได้ 30

ค · ไม่สเกล △PDC ตามอัตราส่วนฐาน

ไม่สเกล △PDC ตามอัตราส่วนฐาน ใช้ △PDC เท่ากับ △PBD จึงได้ 31

ง · กลับอัตราส่วน BD : DC

กลับอัตราส่วน BD : DC เมื่อสเกล △PDC จึงได้ 35

จ · หักเฉพาะ △PBD ออกจากพื้นที่รวม

หักเฉพาะพื้นที่ △PBD ออกจากพื้นที่รวม ลืมหัก △PDC จึงได้ 43

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องเรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม)

คิดว่ามุมภายนอกที่ B กับมุมยอดรวมกันได้ 180°

มุมภายนอกของสามเหลี่ยม = ผลบวกของมุมภายในสองมุมที่ไม่ประชิดกับมัน ไม่ใช่ 180 ลบมุมยอด

ตอบเท่ากับ ∠FAB เพราะคิดว่าเป็นมุมสมนัย

มุมสมนัยเกิดจากเส้นขนานคู่หนึ่งกับเส้นตัดหนึ่งเส้นเท่านั้น ให้ระบุให้ได้ก่อนว่าคู่ขนานคือคู่ไหน

นับจุดแทนช่วง (ทุกส่วนยาวเกินหนึ่งหน่วย)

ความยาวนับจาก "ช่วง" ไม่ใช่ "จุด": จำนวนช่วง = จำนวนจุด − 1

นับช่วงขาดหนึ่ง (ช่วงเท่าจำนวนจุดแบ่ง)

จุดแบ่งกี่จุด (ไม่รวมปลาย) จะได้จำนวนช่วงมากกว่าจำนวนจุดอยู่ 1 เช่น 3 จุดได้ 4 ช่วง วาดรูปแล้วนับช่องจริง

ใช้ ∠EBC เป็นมุมยอดของ △ABE

มุมฉากของจัตุรัสที่ B ถูกแบ่งเป็น ∠EBC กับ ∠ABE = 90 − ∠EBC เขียนทั้งสองค่าลงในรูปก่อนไล่ต่อ

ใช้ 180 − มุมเดียว

ที่จุด C มีสามมุมเรียงกันบนเส้นตรง ต้องลบทั้งสองมุมข้าง

ฝึกเรื่องเรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม)ต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)