สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

เซต — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 66 ข้อ จาก 8 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องเซต

อ่านสัญลักษณ์ให้ออกก่อน

  • x ∈ A แปลว่า x เป็นสมาชิกของ A — ดูเฉพาะสิ่งที่เขียนอยู่ในวงเล็บปีกกาชั้นนอกสุดของ A เช่น A = {1, {2}, ∅} มีสมาชิก 3 ตัวคือ 1 · {2} · ∅ ⇒ {2} ∈ A แต่ 2 ∉ A
  • B ⊂ A แปลว่า B เป็นสับเซตของ A — สมาชิกทุกตัวของ B ต้องเป็นสมาชิกของ A
  • ∅ เป็นสับเซตของทุกเซตเสมอ (∅ ⊂ A) แต่ ∅ ∈ A จะจริงก็ต่อเมื่อเขียน ∅ ไว้ในวงเล็บของ A
  • P(A) เพาเวอร์เซต = เซตของสับเซตทั้งหมดของ A ⇒ X ∈ P(A) ก็คือ X ⊂ A
  • n(P(A)) = 2 ยกกำลัง n(A) เช่น A มีสมาชิก 3 ตัว ⇒ P(A) มีสมาชิก 2³ = 8 ตัว ถ้าโจทย์ให้ n(P(A)) = 16 ให้ถอดกลับก่อนว่า n(A) = 4

การดำเนินการของเซต

  • A′ (คอมพลีเมนต์) = สมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A
  • A − B = สมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B = A ∩ B′ (สลับข้างไม่ได้ A − B ≠ B − A)
  • เดอมอร์แกน: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ และ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

แผนภาพเวนน์: เติมช่องให้ครบก่อน แล้วค่อยตอบ

  • 2 เซตมี 4 ช่อง: A เท่านั้น · B เท่านั้น · ทั้งคู่ · นอกทั้งคู่
  • 3 เซตมี 8 ช่อง (รวมช่องนอกสุด) — ลืมช่องนอก = ผิดทั้งข้อ
  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
  • n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
  • เติมจากช่องกลางออกไปข้างนอก: ทั้งสามเซต → ช่องคู่ (หักช่องกลางออก) → ช่องเดี่ยว → ช่องนอก = n(U) − n(A ∪ B ∪ C)
  • n(A ∩ B) รวมคนที่อยู่ทั้งสามเซตด้วยเสมอ — "อยู่สองเซตพอดี" ต้องหักช่องกลางออกจากทุกคู่
  • เจอนิพจน์ซ้อน ๆ เช่น n((A′ ∩ B′) ∪ C′) ให้แปลงเป็น "ช่องไหนบ้าง" ทีละชั้น แล้วบวกเฉพาะช่องเหล่านั้น

เซตที่สร้างจากเงื่อนไข

  • เช่น C = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} ให้ทำตารางทุกคู่ (a, b) คำนวณค่า คัดตามเงื่อนไข แล้วนับค่าที่ต่างกัน — ค่าเดียวกันที่ได้จากหลายคู่ นับครั้งเดียว
  • อย่าลืมว่า 0 และจำนวนลบก็เป็นสมาชิกได้ และระวังเครื่องหมาย < กับ ≤ ที่ปลายช่วง

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

กำหนดให้ A = {−4, −3, 1, 2, 4} และ B = {−2, −1, 2, 5} ให้ C เป็นเซตของค่า a − b ทั้งหมดที่ −1 < a − b < 5 โดย a เป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B เซต C มีสมาชิกกี่ตัว

4 ตัว
5 ตัว
6 ตัว
7 ตัว
14 ตัว
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก 4 ตัว

ตารางค่า a − b ทุกคู่ (ขีดฆ่าค่าที่ไม่ผ่านเงื่อนไข)
a \ b −2 −1 2 5
−4 ~~−2~~ ~~−3~~ ~~−6~~ ~~−9~~
−3 ~~−1~~ ~~−2~~ ~~−5~~ ~~−8~~
1 3 2 ~~−1~~ ~~−4~~
2 4 3 0 ~~−3~~
4 ~~6~~ ~~5~~ 2 ~~−1~~

เงื่อนไข: −1 < a − b < 5

= ผ่านเงื่อนไข 6 คู่

เขียน C แบบแจกแจง (ค่าซ้ำเขียนครั้งเดียว)

ค่าที่ซ้ำ: 2 มาจาก 2 คู่, 3 มาจาก 2 คู่

C = {0, 2, 3, 4}

= n(C) = 4

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · สลับปลายเปิด-ปิดของช่วง

ผิด — 5 ได้จากการอ่านขอบบน 5 ผิด (< เป็น ≤) ทำให้นับ 5 เข้ามา · ที่ถูก −1 < a − b < 5 ไม่รวม 5 จึงได้ C = {0, 2, 3, 4} มี 4 ตัว

ค · นับคู่อันดับแทนสมาชิกที่ต่างกัน

ผิด — 6 คือจำนวนคู่ (a, b) ที่ผ่านเงื่อนไข แต่ค่าซ้ำกัน: 2 มาจาก 2 คู่, 3 มาจาก 2 คู่ เซตนับค่าที่ซ้ำเพียงครั้งเดียว C = {0, 2, 3, 4} จึงมี 4 ตัว

ง · นับคู่และอ่านปลายช่วงผิดพร้อมกัน

ผิด — 7 พลาดสองชั้น: อ่านขอบบน 5 ผิด (< เป็น ≤) ทำให้นับ 5 เข้ามา แล้วยังนับคู่ (a, b) ไม่ตัดค่าซ้ำ · ที่ถูก C = {0, 2, 3, 4} มี 4 ตัว

จ · ไม่คัดตามเงื่อนไข

ผิด — 14 คือจำนวนค่าที่ต่างกันทั้งหมดของ a − b โดยไม่คัดเงื่อนไข ค่าที่ไม่ผ่าน −1 < a − b < 5 คือ −9, −8, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 5, 6 ต้องตัดออก เหลือ 4

ข้อ 2

กำหนดให้ A, B และ C เป็นเซตจำกัดซึ่งเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U โดยจำนวนสมาชิกของเซตต่าง ๆ เป็นไปตามตารางต่อไปนี้

เซต จำนวนสมาชิก
A∪B 50
A∪C 49
A∩B∩C 4
B∪C 54

และ U มีสมาชิกทั้งหมด 72 ตัว ในจำนวนนี้มี 8 ตัวที่ไม่อยู่ในเซต A, B, C เซตใดเลย

จำนวนสมาชิกที่อยู่ในสองเซตพอดีเท่ากับข้อใด

5
21
25
39
60
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ข 21

หา n(A∪B∪C)

n(A∪B∪C) = 72 − 8 = 64

= 64

หาช่องอย่างเดียวด้วยการลบจากยูเนียนใหญ่

สมาชิกของ A∪B∪C ที่ไม่อยู่ในยูเนียนของอีกสองเซต = ช่องอย่างเดียวของเซตที่เหลือ
A เท่านั้น = n(A∪B∪C) − n(B∪C) = 64 − 54 = 10
B เท่านั้น = n(A∪B∪C) − n(A∪C) = 64 − 49 = 15
C เท่านั้น = n(A∪B∪C) − n(A∪B) = 64 − 50 = 14

= 10, 15, 14

หาอย่างน้อยสองเซต แล้วหักช่องกลาง

อย่างน้อยสองเซต = 64 − 39 = 25 · สองเซตพอดี = 25 − 4 = 21

= 21

กางช่องตรวจ
ช่อง A เท่านั้น B เท่านั้น C เท่านั้น อยู่อย่างน้อยสองเซต (รวม 4 ช่อง) รวม
จำนวน 10 15 14 25 64

ช่องคู่แต่ละช่องหาเฉพาะตัวไม่ได้ แต่รวมสามช่องคู่ = 21 และทั้งสาม = 4 เสมอ

= รวมได้ 64 = n(A∪B∪C)

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ใช้เอกภพแทนยูเนียนใหญ่

ผิด — 5 ได้จากการใช้ n(U) = 72 แทน n(A∪B∪C) ในทุกการลบ: ช่องอย่างเดียวรวมกลายเป็น 39 + 3 × 8 = 63 แล้ว 72 − 63 − 4 = 5 ที่ถูกใช้ 64 ได้ 21

ค · ไม่แยก "อย่างน้อยสอง" ออกจาก "สองพอดี"

ผิด — 25 = 64 − 39 คือจำนวนที่อยู่ "อย่างน้อยสองเซต" ซึ่งยังรวม A∩B∩C (4) ต้องหักอีกครั้ง: 25 − 4 = 21

ง · ตอบกลุ่ม "หนึ่งเซตพอดี" แทน "สองเซตพอดี"

ผิด — 39 = 10 + 15 + 14 คือจำนวนที่อยู่เซตเดียวพอดี (ตัวเลขระหว่างทาง) งานยังไม่จบ: 64 − 39 − 4 = 21

จ · คิดว่ายูเนียนลบช่องกลางคือสองเซตพอดี

ผิด — 60 = 64 − 4 มองข้ามว่าใน A∪B∪C มีสมาชิกที่อยู่เซตเดียวด้วย (39) ที่ถูกคือ 64 − 39 − 4 = 21

ข้อ 3

กำหนดให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ X' แทนคอมพลีเมนต์ของเซต X เทียบกับ U โดยที่ n(U) = 77, n(A) = 32, n(B) = 28, n(C) = 29, n(A∩B) = 8, n(A∩C) = 9, n(B∩C) = 9 และ n(A∩B∩C) = 4 แล้ว n((B'∩C')∪A') มีค่าตรงกับข้อใด

10
37
54
64
73
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ง 64

เติมช่องเวนน์จากตรงกลางออก

ทั้งสาม 4 → A∩B เท่านั้น 8 − 4 = 4 · A∩C เท่านั้น 9 − 4 = 5 · B∩C เท่านั้น 9 − 4 = 5
A เท่านั้น 32 − 4 − 5 − 4 = 19 · B เท่านั้น 28 − 4 − 5 − 4 = 15 · C เท่านั้น 29 − 5 − 5 − 4 = 15
นอก = 77 − (ผลรวม 7 ช่องในวงกลม) = 10

ช่อง 1. A เท่านั้น 2. B เท่านั้น 3. C เท่านั้น 4. A∩B เท่านั้น 5. A∩C เท่านั้น 6. B∩C เท่านั้น 7. ทั้งสาม 8. นอก
จำนวน 19 15 15 4 5 5 4 10

= นอกวงกลม 10 (ต้องมีเสมอ)

แปล (B'∩C')∪A' เป็นช่อง
  • B' = ช่อง 1, 3, 5, 8
  • C' = ช่อง 1, 2, 4, 8
  • B'∩C' = ช่อง 1, 8
  • A' = ช่อง 2, 3, 6, 8
  • (B'∩C')∪A' = ช่อง 1, 2, 3, 6, 8

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · อ่านตัวดำเนินการนอกสุดผิด

ผิด — 10 ได้จากการอ่านตัวดำเนินการนอกสุดสลับ ∪ กับ ∩: อ่านเป็น n((B'∩C')∩A') ซึ่งครอบ นอก 10 = 10 · ที่ถูก n((B'∩C')∪A') ครอบ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + B∩C เท่านั้น 5 + นอก 10 = 64

ข · ตัดเครื่องหมายคอมพลีเมนต์ทิ้ง

ผิด — 37 ได้จากการตัดเครื่องหมาย ' ทิ้ง: อ่านเป็น n((B∩C)∪A) ซึ่งครอบ A เท่านั้น 19 + A∩B เท่านั้น 4 + A∩C เท่านั้น 5 + B∩C เท่านั้น 5 + ทั้งสาม 4 = 37 · ที่ถูก n((B'∩C')∪A') ครอบ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + B∩C เท่านั้น 5 + นอก 10 = 64

ค · คิดคอมพลีเมนต์ในวงกลมเท่านั้น ลืมช่องนอก

ผิด — 54 ได้จากการคิดคอมพลีเมนต์ในขอบเขต A∪B∪C แทน U (ลืมช่องนอก): คิด ' เทียบกับ A∪B∪C ช่องนอก (10) จึงหายไป ได้ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + B∩C เท่านั้น 5 = 54 · ที่ถูก n((B'∩C')∪A') ครอบ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + B∩C เท่านั้น 5 + นอก 10 = 64

จ · De Morgan กลับด้านผิด

ผิด — 73 ได้จากการใช้ De Morgan กลับด้าน: อ่านเป็น n((B∩C)'∪A') ซึ่งครอบ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + A∩B เท่านั้น 4 + A∩C เท่านั้น 5 + B∩C เท่านั้น 5 + นอก 10 = 73 · ที่ถูก n((B'∩C')∪A') ครอบ A เท่านั้น 19 + B เท่านั้น 15 + C เท่านั้น 15 + B∩C เท่านั้น 5 + นอก 10 = 64

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องเซต

ตอบกลุ่มที่โจทย์ไม่ได้ถาม

ขีดเส้นใต้คำว่า "พอดี" "อย่างน้อย" "อย่างเดียว" "และ" "หรือ" ในคำถาม แล้วชี้ช่องบนแผนภาพก่อนตอบ

มองทะลุวงเล็บซ้อน

ขีดเส้นใต้สมาชิกชั้นนอกของ A ทีละตัวก่อน (นับได้กี่ตัว) แล้วตอบ ∈ จากรายการนั้นเท่านั้น

นับคู่อันดับแทนสมาชิกที่ต่างกัน

เขียน C แจกแจงออกมาเรียงจากน้อยไปมากก่อนนับ ค่าซ้ำจะหายไปเอง

ไม่ลบช่องกลางออก 3 ครั้ง

วาดวงกลมสามวงเสมอ แล้วเขียนกำกับว่า "n(A∩B) = ช่อง A∩B เท่านั้น + ช่องกลาง" สองอย่างพอดี = ผลรวมสามคู่ − 3 × ช่องกลาง

สลับปลายเปิด-ปิดของช่วง

เขียนกำกับที่ปลายช่วงว่า "รวม" หรือ "ไม่รวม" ก่อนเริ่มคัด และเช็กค่าที่ตกตรงปลายเป็นพิเศษ

ตัดศูนย์และจำนวนลบทิ้ง

สมาชิกคืออะไรก็ได้ที่ผ่านเงื่อนไข — ศูนย์และจำนวนลบก็เป็นสมาชิกได้ถ้าเงื่อนไขไม่ห้าม

ฝึกเรื่องเซตต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)