ลำดับและแบบรูป — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย
โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก
· ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 8 ข้อ จาก 3 แนว
· ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย
สิ่งที่ต้องรู้เรื่องลำดับและแบบรูป
หากฎของแบบรูป
- ทำตาราง "รูปที่ 1, 2, 3, 4, …" กับ "จำนวน" แล้วดูผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกัน
- ผลต่างคงที่ ⇒ สูตรเป็นเชิงเส้น aₙ = a₁ + (n − 1)d
- ผลต่างของผลต่าง (ชั้นที่สอง) คงที่ ⇒ สูตรเป็นกำลังสอง an² + bn + c — แทน n = 1, 2, 3 แก้หา a, b, c
- คูณด้วยค่าคงที่ทุกครั้ง ⇒ aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
- ผลบวก n พจน์ของลำดับที่ผลต่างคงที่ = n × (พจน์แรก + พจน์สุดท้าย) ÷ 2 · เช่น 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2
รูปโจทย์ที่เจอ
- แบบรูป 1, 2, 2, 3, 3, 3, … (เลข k ซ้ำ k ครั้ง): เลข k ตัวสุดท้ายอยู่ตำแหน่งที่ 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2 ⇒ หาพจน์ที่ 100 ให้หา k ที่ k(k + 1)/2 ≥ 100 เป็นครั้งแรก
- แบบรูปจุด/รูปภาพ ถามรูปที่ 20 หรือผลต่างของรูปที่ 13 กับ 20: หาสูตรทั่วไปก่อน แล้วแทนค่า อย่านับไล่ทีละรูป
- ตรวจสูตรกับรูปที่โจทย์ให้มาทุกรูปก่อนใช้ — สูตรที่ถูกแค่รูปแรก ๆ คือกับดักที่เจอบ่อย
โจทย์ตัวอย่าง
ข้อ 1
จงหาผลบวก 1 + 2 + 3 + ⋯ + 31 โดยจำนวนแต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ 1 และรวมพจน์สุดท้ายด้วย
ก
465
ข
480
ค
495
ง
496
จ
512
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ง 496
1
ใช้ข้อมูลที่กำหนด
จำนวนพจน์คือ 31 − 1 + 1 = 31 พจน์
2
คำนวณตามเงื่อนไข
ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายเท่ากับ (1 + 31)/2 = 16
นำจำนวนพจน์คูณค่าเฉลี่ยได้ 31×16
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · ตัดพจน์สุดท้าย
บวกไปถึงจำนวนก่อนตัวสุดท้าย ไม่ได้รวมจำนวนสุดท้ายที่โจทย์ให้รวม
อ่านคำว่ารวมทั้งสองปลายแล้วตรวจว่าจำนวนสุดท้ายอยู่ในผลบวก
ข · นับพจน์ขาดหนึ่ง
หาจำนวนพจน์ด้วยการลบปลายทั้งสองเฉย ๆ ลืมบวกหนึ่ง
ช่วงที่รวมปลายทั้งสองมีจำนวนพจน์เท่ากับตัวท้ายลบตัวแรกแล้วบวกหนึ่ง
ค · ไม่นับพจน์แรก
เริ่มรวมตั้งแต่ 2 หรือจับคู่หัวท้ายแล้วทิ้งเลข 1 ไป ผลบวกจึงขาดไปหนึ่ง
ผลบวกที่เริ่มจาก 1 มีจำนวนพจน์เท่ากับพจน์สุดท้าย ตรวจว่ารวมเลข 1 แล้ว
จ · นับพจน์เกินหนึ่ง
บวกหนึ่งเกินมาตอนนับจำนวนพจน์ จึงคูณด้วยจำนวนพจน์ที่มากไปหนึ่ง
ตรวจจำนวนพจน์ด้วยช่วงเล็ก ๆ เช่น 3 ถึง 5 มี 3 พจน์
ข้อ 2
แบบรูปจุดมีจุดกลาง 1 จุดและรังสี 5 เส้นที่พบกันเฉพาะจุดกลาง
รูปแรกมีจุดนอกศูนย์กลางบนรังสีเส้นละ 2 จุด รูปถัดไปเพิ่มจุดบนรังสีแต่ละเส้นอีก 2 จุด โดยจุดที่เพิ่มไม่ทับจุดเดิมหรือจุดบนรังสีอื่น
รูปที่ 11 มีจุดมากกว่ารูปที่ 6 กี่จุด
ก
40
ข
50
ค
55
ง
60
จ
172
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ข 50
1
ใช้ข้อมูลที่กำหนด
แต่ละขั้นเพิ่มจุด 5×2 = 10 จุด โดยจุดกลางและจุดตั้งต้นคงเดิม
2
คำนวณตามเงื่อนไข
จากรูปที่ 6 ถึงรูปที่ 11 มีการเพิ่ม 11 − 6 = 5 ขั้น
รูปที่ 11 มี 111 จุด และรูปที่ 6 มี 61 จุด
3
สรุปคำตอบ
จำนวนจุดที่ต่างกันคือ 10×5 = 50 จุด
= 50
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · นับช่วงเพิ่มขาดหนึ่ง
หักหนึ่งออกจากจำนวนขั้นเกินมา เพราะสับสนกับสูตรพจน์ทั่วไปที่ต้องลบหนึ่ง
ลองนับจากรูปที่อยู่ติดกันก่อน รูปที่ติดกันต่างกันหนึ่งขั้นพอดี
ค · คิดว่าเพิ่มเป็นสัดส่วนกับหมายเลขรูป
คิดว่ารูปที่สิบมีจุดเป็นสิบเท่าของรูปแรก ทั้งที่จุดเพิ่มทีละเท่ากันจากจำนวนตั้งต้น
ลองเขียนจำนวนจุดของรูปที่ 1 2 3 แล้วดูว่าเพิ่มทีละเท่าไร ไม่ใช่คูณเท่า
ง · นับช่วงเพิ่มเกินหนึ่ง
นับจำนวนรูปตั้งแต่รูปแรกถึงรูปหลังรวมปลายทั้งสอง แทนจำนวนขั้นที่เพิ่มขึ้น
จากรูปที่ 3 ไปรูปที่ 5 เพิ่มแค่ 2 ขั้น จำนวนขั้นคือหมายเลขรูปหลังลบหมายเลขรูปแรก
จ · บวกแทนลบ
นำจำนวนจุดของสองรูปมาบวกกัน ทั้งที่โจทย์ถามว่ามากกว่ากันกี่จุด
คำว่ามากกว่ากี่จุดหรือต่างกันกี่จุด ให้นำมาลบกัน
ข้อ 3
นำกลุ่มตัวเลขมาต่อกันตามลำดับกลุ่มที่ 1, 2, 3 และต่อไปเรื่อย ๆ โดยกลุ่มที่ k มีจำนวน 2k ตัว และทุกตัวในกลุ่มมีค่า 4 + 3(k − 1) เมื่อ k เป็นจำนวนนับ
พจน์ที่ 111 มีค่าเท่าใด
ก
34
ข
37
ค
46
ง
132
จ
334
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ก 34
1
ใช้ข้อมูลที่กำหนด
จำนวนพจน์สะสมถึงกลุ่มที่ 10 เท่ากับ 2×10×11/2 = 110
2
คำนวณตามเงื่อนไข
จำนวนพจน์สะสมถึงกลุ่มที่ 11 เท่ากับ 2×11×12/2 = 132
เพราะ 110 < 111 ≤ 132 พจน์ที่ถามจึงอยู่ในกลุ่มที่ 11
3
สรุปคำตอบ
ค่าของพจน์เท่ากับ 4 + 3×(11 − 1) = 34
= 34
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ข · เลือกกลุ่มถัดไป
เลื่อนไปกลุ่มถัดไป เพราะคิดว่าตำแหน่งที่ตรงกับจำนวนพจน์สะสมพอดีอยู่กลุ่มหลัง
พจน์สุดท้ายของกลุ่มยังอยู่ในกลุ่มนั้น ตรวจขอบขวาของแต่ละกลุ่มให้ดี
ค · ลืมว่ากลุ่มมีสมาชิกสองเท่า
นับว่ากลุ่มที่หนึ่งมี 1 ตัว กลุ่มที่สองมี 2 ตัว ทั้งที่โจทย์ให้แต่ละกลุ่มมีจำนวนสมาชิกเป็นสองเท่าของหมายเลขกลุ่ม
เขียนจำนวนสมาชิกของสามกลุ่มแรกตามกฎในโจทย์ก่อนเริ่มนับสะสม
ง · ตอบจำนวนพจน์สะสม
ตอบจำนวนพจน์สะสมถึงกลุ่มที่หาได้ ซึ่งเป็นแค่ตัวเลขช่วยหากลุ่ม ไม่ใช่ค่าของพจน์
จำนวนพจน์สะสมใช้บอกว่าอยู่กลุ่มไหน คำตอบคือค่าประจำกลุ่มนั้น
จ · มองเป็นลำดับที่ไม่ซ้ำ
เพิ่มค่าทุกพจน์ เหมือนลำดับเลขคณิตธรรมดา ทั้งที่ค่าเปลี่ยนเมื่อขึ้นกลุ่มใหม่เท่านั้น
นับก่อนว่าแต่ละกลุ่มมีกี่ตัว แล้วหาว่าตำแหน่งที่ถามอยู่กลุ่มไหน
หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องลำดับและแบบรูป
เลือกกลุ่มถัดไป
พจน์สุดท้ายของกลุ่มยังอยู่ในกลุ่มนั้น ตรวจขอบขวาของแต่ละกลุ่มให้ดี
มองเป็นลำดับที่ไม่ซ้ำ
นับก่อนว่าแต่ละกลุ่มมีกี่ตัว แล้วหาว่าตำแหน่งที่ถามอยู่กลุ่มไหน
ตอบจำนวนพจน์สะสม
จำนวนพจน์สะสมใช้บอกว่าอยู่กลุ่มไหน คำตอบคือค่าประจำกลุ่มนั้น
ลืมว่ากลุ่มมีสมาชิกสองเท่า
เขียนจำนวนสมาชิกของสามกลุ่มแรกตามกฎในโจทย์ก่อนเริ่มนับสะสม
นับช่วงเพิ่มเกินหนึ่ง
จากรูปที่ 3 ไปรูปที่ 5 เพิ่มแค่ 2 ขั้น จำนวนขั้นคือหมายเลขรูปหลังลบหมายเลขรูปแรก
ตัดพจน์สุดท้าย
อ่านคำว่ารวมทั้งสองปลายแล้วตรวจว่าจำนวนสุดท้ายอยู่ในผลบวก
เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่
แนวข้อสอบหัวข้ออื่น
คณิตศาสตร์
สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต
วิทยาศาสตร์
พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)