อัตราส่วนตรีโกณมิติ — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย
โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก
· ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 53 ข้อ จาก 17 แนว
· ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย
สิ่งที่ต้องรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ
นิยาม (สามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A)
- sin A = ข้าม/ฉาก · cos A = ชิด/ฉาก · tan A = ข้าม/ชิด
- cosec A = 1/sin A · sec A = 1/cos A · cot A = 1/tan A
ค่าของมุมพิเศษ
| มุม |
30° |
45° |
60° |
| sin |
1/2 |
√2/2 |
√3/2 |
| cos |
√3/2 |
√2/2 |
1/2 |
| tan |
√3/3 |
1 |
√3 |
เอกลักษณ์
- sin²A + cos²A = 1 · 1 + tan²A = sec²A · 1 + cot²A = cosec²A
- tan A = sin A ÷ cos A
- มุมประกอบฉาก: sin(90° − A) = cos A · cos(90° − A) = sin A · tan(90° − A) = cot A
- ⇒ cos²A + cos²(90° − A) = 1 — ใช้จับคู่มุมในผลบวกยาว ๆ เช่น cos²1° + cos²89° = 1
- ถ้า cosec A + cot A = k ⇒ cosec A − cot A = 1/k (เพราะ cosec²A − cot²A = 1) แล้วบวก/ลบสองสมการหา cosec A กับ cot A
มุมเงยและมุมก้ม
- วัดจากแนวระดับเสมอ · มุมเงยจากจุด A ไปยังยอด B = มุมก้มจากยอด B ลงมาที่ A
- วาดสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน: ความสูง = ระยะทางแนวราบ × tan(มุมเงย) — ได้ความสูงเหนือระดับสายตา ถ้าโจทย์ให้ความสูงของผู้สังเกต (คน กล้อง ชั้นตึกที่ยืน) ต้องบวกเพิ่ม
- มองวัตถุเดียวกันจากสองจุดบนแนวเดียวกัน: ตั้งความสูงเป็นตัวแปร เขียนระยะแนวราบสองแบบ แล้วเอาผลต่างเท่ากับระยะห่างของสองจุด
- วัตถุเคลื่อนที่ (นก เครื่องบิน รถ): หาตำแหน่งสองเวลา → ระยะที่เคลื่อน → อัตราเร็ว = ระยะ ÷ เวลา
- ใช้ค่ามุมพิเศษให้ได้ ข้อสอบห้ามเครื่องคิดเลข ถ้าโจทย์ใช้มุมอื่นจะให้ค่ามาเอง
โจทย์ตัวอย่าง
ข้อ 1
มุม A และ B เป็นมุมแหลมที่ A + B = 90° และ tan A = 5/12 ค่าของ (3 sin A + 4 cos B)/sin A เท่ากับเท่าใด
ก
59/13
ข
3
ค
4
ง
67/13
จ
7
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ จ 7
1
ใช้ความสัมพันธ์
จาก A + B = 90° ได้ cos B = sin A
2
คำนวณ
ตัวเศษจึงเท่ากับ (3 + 4) sin A
เพราะ A เป็นมุมแหลม จึงมี sin A > 0 และตัดตัวประกอบนี้ได้
3
สรุปคำตอบ
ผลหารเท่ากับ 7 โดยไม่จำเป็นต้องใช้ค่า tan A
= 7
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · หารด้วย sin A เฉพาะพจน์แรก
หารด้วย sin A เฉพาะพจน์แรก คิด 4 × 5 ÷ √(5² + 12²) = 20/13 แล้ว 3 + 20/13 = 59/13
ง · หารด้วย sin A เฉพาะพจน์หลัง
หารด้วย sin A เฉพาะพจน์หลัง คิด 3 × 5 ÷ √(5² + 12²) = 15/13 แล้ว 15/13 + 4 = 67/13
ข้อ 2
แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าติดตั้งแนวดิ่งบนกำแพง ผู้สังเกตห่างกำแพงตามแนวตั้งฉาก 3√3 เมตร และระดับตาต่ำกว่าขอบล่าง มองจุดกึ่งกลางขอบล่างและขอบบนเป็นมุมเงย 30° และ 60° ตามลำดับ จุดทั้งสองอยู่บนเส้นดิ่งเดียวกันตรงแนวตั้งฉากที่มองเข้ากำแพง ถ้าความกว้างแนวนอนเป็น 2 เท่าของความสูง แผ่นนี้มีรอบรูปกี่เมตร
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ค 36
1
ใช้ความสัมพันธ์
ระดับขอบบนและขอบล่างเหนือระดับตาคือ 3√3 tan 60° = 9 และ 3√3 tan 30° = 3 เมตร
2
คำนวณ
ความสูงแผ่นจึงเป็น 9 − 3 = 6 เมตร
ความกว้างเท่ากับ 2×6 = 12 เมตร
3
สรุปคำตอบ
รอบรูปเท่ากับ 2(12 + 6) = 36 เมตร
= 36
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · นับด้านสูงครั้งเดียว
นับด้านสูงครั้งเดียว ได้ 2 × 12 + 6 = 30
ข · ตอบความสูงแผ่นแทนรอบรูป
ตอบความสูงแผ่นแทนรอบรูป ได้ 6
ง · นับความกว้างด้านเดียว
นับความกว้างด้านเดียว ได้ 12 + 2 × 6 = 24
จ · ตอบความกว้างแทนรอบรูป
ตอบความกว้างแทนรอบรูป ได้ 12
ข้อ 3
ผู้สังเกตมีระดับตาสูงจากพื้น 3/2 เมตร มองยอดเสาที่ตั้งฉากกับพื้นด้วยมุมเงย 30° จากนั้นเดินบนพื้นราบตรงเข้าหาฐานเสา 20√3 เมตรแล้ววัดมุมเงยได้ 60° ระดับตาคงเดิมและทั้งสองจุดอยู่ด้านเดียวของฐาน เสาสูงจากพื้นกี่เมตร
ก
33
ข
30
ค
123/2
ง
63/2
จ
183/2
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ง 63/2
1
ใช้ความสัมพันธ์
ให้ x เป็นระยะราบจากจุดใกล้ถึงฐาน และ h เป็นความสูงยอดเสาเหนือระดับตา
2
คำนวณ
ได้ h = x tan 60° = (x + 20√3) tan 30°
คูณด้วย √3 แล้วจัดรูปได้ 3x = x + 20√3 จึงมี x = 10√3 เมตร
3
สรุปคำตอบ
ได้ h = x√3 = 30 เมตร ดังนั้นเสาสูง h + 3/2 = 63/2 เมตร
= 63/2
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · บวกระดับตาสองครั้ง
บวกระดับตาสองครั้ง ได้ 30 + 2 × 3/2 = 33
ค · ใช้ระยะที่เดินเป็นระยะจากจุดใกล้
ใช้ระยะที่เดินเป็นระยะจากจุดใกล้ ได้ 20√3 × √3 + 3/2 = 123/2
จ · ใช้มุม 60° กับระยะจากจุดไกล
ใช้มุม 60° กับระยะจากจุดไกล คิด (20√3 ÷ 2 + 20√3) × √3 = 90 แล้ว 90 + 3/2 = 183/2
หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ลืมครึ่งหนึ่งในสูตรพื้นที่
พื้นที่สามเหลี่ยม = ฐาน × สูง ÷ 2
ใช้ระยะบนพื้นแทนส่วนบน
ส่วนบนเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวกว่าระยะบนพื้น
สลับมุมกดลงกับมุมเงย
มุมกดลงใช้กับฐาน มุมเงยใช้กับยอด
ถือว่าเสาสูงเท่ากัน
มุมรวม 90° ไม่จำเป็นต้องเป็น 45° ทั้งคู่
ทิ้งเศษส่วนคู่
ผลบวกของสองเศษส่วนคือค่าที่ให้บวกส่วนกลับของมัน
เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่
แนวข้อสอบหัวข้ออื่น
คณิตศาสตร์
สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป
วิทยาศาสตร์
พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)
