สมการและอสมการเชิงเส้น — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย
โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก
· ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 16 ข้อ จาก 3 แนว
· ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย
สิ่งที่ต้องรู้เรื่องสมการและอสมการเชิงเส้น
สมการและอสมการ
- แก้สมการ: ทำเหมือนกันทั้งสองข้าง (บวก ลบ คูณ หาร ด้วยจำนวนเดียวกัน) แล้วแทนกลับตรวจคำตอบ
- อสมการ: คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย (< กลายเป็น >)
- ถ้า a และ b เป็นบวก: a/b มากที่สุดเมื่อ a มากสุดและ b น้อยสุด · น้อยที่สุดเมื่อ a น้อยสุดและ b มากสุด
กราฟเส้นตรง
- y = mx + c: m คือความชัน · c คือจุดตัดแกน y
- จุดตัดของกราฟสองเส้น = แก้สองสมการพร้อมกัน
- เส้นขนาน: ความชันเท่ากัน · กราฟผ่านจุดใด แทนพิกัดจุดนั้นลงสมการแล้วต้องเป็นจริง
โจทย์ปัญหา
- กำหนดตัวแปรให้ชัดว่าแทนอะไร และทำหน่วยให้เหมือนกันก่อน (นาที/ชั่วโมง · เมตร/กิโลเมตร)
- ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา · เดินเข้าหากัน: อัตราเร็วบวกกัน · เดินตามกัน: อัตราเร็วลบกัน
- ถ้ามีคนหยุดพักระหว่างทาง ให้หักเวลาพักออกจากเวลาที่เขาเดินจริง
- ค่าสูงสุด/ต่ำสุดภายใต้เงื่อนไขเชิงเส้นหลายข้อ (เช่น บรรทุกผู้โดยสารกับสินค้า): วาดบริเวณที่ผ่านทุกเงื่อนไข ค่าที่ดีที่สุดเกิดที่จุดมุมของบริเวณนั้น — แทนค่าทุกจุดมุมแล้วเทียบ · ถ้าคำตอบต้องเป็นจำนวนเต็ม (คน ชิ้น) แต่จุดมุมไม่ใช่จำนวนเต็ม ให้ตรวจจุดจำนวนเต็มใกล้เคียงแทน
โจทย์ตัวอย่าง
ข้อ 1
ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 6 ทั้งคู่ และให้ x = a/b
ถ้า −2/5 < 3x − 1 ≤ 2
ค่ามากที่สุดของ x ลบด้วยค่าน้อยที่สุดของ x เท่ากับเท่าใด
ก
35/6
ข
4/5
ค
5/4
ง
3/4
จ
7/3
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ง 3/4
1
แก้อสมการ
บวก 1 ทั้งสามส่วน แล้วหารด้วย 3 ตลอดอสมการ ได้ 1/5 < x ≤ 1
= 1/5 < x ≤ 1
2
ตรวจเศษและส่วนครบทุกค่า
b = 1: a = 1
b = 2: a = 1, 2
b = 3: a = 1, 2, 3
b = 4: a = 1, 2, 3, 4
b = 5: a = 2, 3, 4, 5
b = 6: a = 2, 3, 4, 5, 6
= ค่าต่ำสุด 1/4 ค่าสูงสุด 1
3
หาผลต่าง
ดังนั้นผลต่างเท่ากับ 1 − 1/4 = 3/4
= 3/4
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · ลืมคัดเศษส่วนด้วยอสมการ
ใช้ค่ามากสุด 6 ลบค่าน้อยสุด 1/6 ของเศษส่วนทั้งหมดโดยไม่คัดด้วยอสมการ ได้ 35/6
ข · สลับการรับขอบล่าง
นับขอบล่างที่ห้ามใช้เข้ามา จึงได้ค่าน้อยสุด 1/5 ค่ามากสุด 1 และผลต่าง 4/5
ค · บวกค่าสุดขีดแทนหาผลต่าง
บวกค่ามากสุด 1 กับค่าน้อยสุด 1/4 ได้ 5/4 ทั้งที่โจทย์ถามผลต่าง
จ · ลืมหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ x
ย้ายค่าคงที่แล้วลืมหารด้วย 3 จึงใช้ช่วง 3/5 < x ≤ 3 ได้ค่าน้อยสุด 2/3 ค่ามากสุด 3 และผลต่าง 7/3
ข้อ 2
กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่เป็นคำตอบของอสมการ 3(x − 3) < 5x − 11
และ b เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่เป็นคำตอบของอสมการ 3(x − 2) ≥ 5x − 12
ข้อความใดถูกต้อง
ก
2a + 3b = 31
ข
a + 3b = 11
ค
a + 2b = 11
ง
3a + b = 6
จ
2a + b = 6
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ข a + 3b = 11
1
แก้อสมการแรก
อสมการแรกจัดรูปเป็น −2x < −2 หารด้วย −2 แล้วกลับเครื่องหมาย ได้ x > 1
จำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ผ่านคือ a = 2 โดยขอบ 1 ไม่ผ่านอสมการเคร่ง
= a = 2
2
แก้อสมการที่สอง
อสมการที่สองจัดรูปเป็น −2x ≥ −6 หารด้วย −2 แล้วกลับเครื่องหมาย ได้ x ≤ 3
จำนวนเต็มมากที่สุดที่ผ่านคือ b = 3 เพราะรับค่าที่ขอบบนได้
= b = 3
3
แทนค่าในนิพจน์
แทน a = 2 และ b = 3 จึงได้ a + 3b = 11 ซึ่งเป็นข้อความที่ถูกต้อง
= a + 3b = 11
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · ย้ายค่าคงที่โดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
ย้ายค่าคงที่ข้ามข้างโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ขอบล่าง 10 จึงใช้ a = 11 แทน 2 แล้วได้ 2a + 3b = 31
ค · กระจายตัวคูณเข้าวงเล็บไม่ครบ
กระจาย 3 เข้าวงเล็บไม่ครบ เขียน 3(x − 3) เป็น 3x − 3 จึงได้ขอบล่าง 4 และใช้ a = 5 แทน 2 แล้วได้ a + 2b = 11
ง · ใช้ขอบเคร่งเป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุด
ถือว่าขอบ 1 ผ่านอสมการแรกทั้งที่เครื่องหมายเป็น < จึงใช้ a = 1 แทน 2 แล้วได้ 3a + b = 6
จ · ตัดจำนวนเต็มขอบบนที่รวมอยู่
ตัดขอบ 3 ของอสมการที่สองทิ้งทั้งที่เครื่องหมาย ≥ รับกรณีเท่ากัน จึงใช้ b = 2 แทน 3 แล้วได้ 2a + b = 6
ข้อ 3
จุดสองจุดบนถนนสายเดียวกันห่างกัน 24.25 กิโลเมตร
นทีและธนาเริ่มปั่นจักรยานจากคนละจุดเข้าหากันพร้อมกัน ด้วยความเร็วขณะปั่น 13 และ 9 กิโลเมตรต่อชั่วโมงตามลำดับ
หลังเริ่มปั่น 15 นาที นทีหยุดพัก 15 นาทีแล้วปั่นต่อด้วยความเร็วเดิม ส่วนธนาปั่นต่อเนื่องจนพบกัน
ตั้งแต่ออกเดินทางจนถึงจุดพบ ธนาปั่นได้ระยะทางกี่กิโลเมตร
ก
13
ข
11.25
ค
6.75
ง
13.5
จ
16.25
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ข 11.25
1
กำหนดเวลาและตรวจช่วงที่พบ
ให้ t เป็นเวลาตั้งแต่เริ่มจนพบกัน หน่วยชั่วโมง และเวลาพักเท่ากับ 15/60 = 1/4 ชั่วโมง
เมื่อพักจบ ระยะที่ทั้งสองปั่นรวมกันเท่ากับ 7.75 ซึ่งน้อยกว่า 24.25 กิโลเมตร จึงพบกันหลังพักจบ
= พบหลังเวลา 0.5 ชั่วโมง
2
ตั้งและแก้สมการ
ระยะรวมเท่ากับระยะระหว่างจุดเริ่มต้น จึงได้ 13(t − 1/4) + 9t = 24.25
ดังนั้น 22t = 27.5 และ t = 1.25 ชั่วโมง ซึ่งมากกว่า 0.5 ชั่วโมง
= t = 1.25
3
ตอบระยะของผู้ไม่พัก
ธนาปั่นได้ระยะทาง 9 × 1.25 = 11.25 กิโลเมตร
= 11.25 กิโลเมตร
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · ตอบระยะของคนผิดคน
เป็นระยะที่นทีปั่นได้ 13 × (1.25 − 1/4) = 13 กิโลเมตร แต่โจทย์ถามระยะของธนา
ค · นับเฉพาะระยะหลังพักเสร็จ
นับเฉพาะระยะที่ธนาปั่นหลังนทีพักเสร็จ คือ 9 × (1.25 − 0.5) = 6.75 กิโลเมตร
ง · บวกเวลาพักให้คนที่ไม่ได้พัก
บวกเวลาพักเพิ่มให้ธนา ทั้งที่เวลาพบ 1.25 ชั่วโมงรวมช่วงพักไว้แล้ว จึงได้ 9 × (1.25 + 1/4) = 13.5 กิโลเมตร
จ · คูณความเร็วผู้พักกับเวลาทั้งหมด
ใช้ความเร็วของนทีคูณเวลาทั้งหมด 13 × 1.25 = 16.25 กิโลเมตร ซึ่งเป็นระยะของนทีและยังไม่หักเวลาพัก
หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องสมการและอสมการเชิงเส้น
บวกค่าสุดขีดแทนหาผลต่าง
เขียนว่าค่ามากลบค่าน้อยกำกับบรรทัดสุดท้ายก่อนแทนค่า
ตอบระยะของคนผิดคน
กำกับชื่อข้างระยะของแต่ละคน แล้วอ่านประโยคคำถามอีกครั้งก่อนตอบ
บวกเวลาพักให้คนที่ไม่ได้พัก
เวลาพบนับจากเริ่มออกเดินทาง จึงรวมช่วงพักอยู่แล้ว ไม่ต้องบวกซ้ำ
คูณความเร็วผู้พักกับเวลาทั้งหมด
เลือกความเร็วของคนที่โจทย์ถาม และใช้เวลาที่คนนั้นปั่นจริง
ใช้ขอบเคร่งเป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุด
แทนค่าขอบกลับจะได้สองข้างเท่ากัน ซึ่งไม่ผ่านเครื่องหมายมากกว่า จึงต้องขยับไปจำนวนเต็มถัดไป
ตัดจำนวนเต็มขอบบนที่รวมอยู่
เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับรับกรณีเท่ากัน ค่าที่ขอบจึงเป็นจำนวนเต็มมากที่สุด
เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่
แนวข้อสอบหัวข้ออื่น
คณิตศาสตร์
จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป
วิทยาศาสตร์
พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)
