จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

หัวข้อนี้ออกเฉลี่ยปีละ 4 ข้อ (มากเป็นอันดับสองรองจากเรขาคณิต) — อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์ · เลขชี้กำลังตรรกยะ

อสมการพหุนามและเศษส่วน

• ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวให้อีกข้างเป็น 0 แล้วแยกตัวประกอบ · วางจุดที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็น 0 ลงเส้นจำนวน แล้วใส่เครื่องหมาย + − ทีละช่วง
• วงเล็บที่ยกกำลังคู่ ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อข้ามจุดนั้น · กำลังคี่เปลี่ยนเครื่องหมาย
• อสมการเศษส่วน: ห้ามคูณไขว้ (ไม่รู้ว่าตัวส่วนบวกหรือลบ) ให้ย้ายข้างรวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วใช้ตารางเครื่องหมายทั้งเศษและส่วน
• จุดที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ต้องเป็นจุดเปิดเสมอ แม้เครื่องหมายเป็น ≤ หรือ ≥
• คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมายอสมการ
• ถ้า a ≠ 0: ax² + bx + c > 0 จริงทุกจำนวนจริง ⇔ a > 0 และ b² − 4ac < 0 · ถ้า a เป็นตัวแปร ต้องตรวจกรณี a = 0 แยก (จริงทุก x ได้เมื่อ b = 0 และ c > 0)

ค่าสัมบูรณ์

• |x| = x เมื่อ x ≥ 0 · |x| = −x เมื่อ x < 0 · |x − a| คือระยะจาก x ถึง a บนเส้นจำนวน
• |x| < a ⇔ −a < x < a · |x| > a ⇔ x < −a หรือ x > a (เมื่อ a > 0)
• หลายก้อน: หาจุดที่แต่ละก้อนเป็น 0 แบ่งเส้นจำนวนเป็นช่วง แล้วถอดค่าสัมบูรณ์ทีละช่วง — คำตอบที่ได้ต้องอยู่ในช่วงของกรณีนั้นจริง
• |A| = B มีคำตอบเมื่อ B ≥ 0 เท่านั้น — แก้ A = B และ A = −B แล้วทิ้งคำตอบที่ทำให้ B ติดลบ
• |A| < |B| ⇔ A² < B² (ยกกำลังสองได้เพราะทั้งสองข้างไม่ติดลบ)
• √(x²) = |x| ไม่ใช่ x — ถ้ารู้ว่า x < 0 จะได้ √(x²) = −x
• |a + b| ≤ |a| + |b| เท่ากันเมื่อ a และ b ไม่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน (ab ≥ 0)

กรณฑ์

• √a × √b = √(ab) และ √a ÷ √b = √(a/b) ใช้ได้เมื่อ a, b ≥ 0 · √(a + b) ≠ √a + √b
• ดึงกำลังสองออก: √12 = 2√3 · √50 = 5√2 แล้วรวมพจน์ที่กรณฑ์เหมือนกัน
• ทำส่วนเป็นตรรกยะ: คูณด้วยสังยุค — 1 ÷ (√a + √b) = (√a − √b) ÷ (a − b)
• x = ก + √ข กับ y = ก − √ข (สังยุคกัน): ใช้ x + y และ xy ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วคิด x² + y² = (x + y)² − 2xy
• ถอดกรณฑ์ซ้อน: √(a + 2√b) = √m + √n เมื่อ m + n = a และ mn = b · √(a − 2√b) = √m − √n (ให้ m > n)
• ผลบวกยาวของเศษส่วนกรณฑ์ (เช่น 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + …): ทำส่วนเป็นตรรกยะทุกพจน์แล้วจะหักล้างกันเป็นทอด ๆ
• สมการ/อสมการกรณฑ์: ตั้งโดเมนก่อน (ในกรณฑ์ ≥ 0 · ตัวส่วน ≠ 0) ยกกำลังสองแล้วตรวจคำตอบกับสมการเดิม — การยกกำลังสองสร้างคำตอบเกินได้
• อสมการ √A < B: ต้องมี A ≥ 0 และ B > 0 ก่อน จึงยกกำลังสองได้ A < B²
• ประมาณค่า: √2 ≈ 1.414 · √3 ≈ 1.732 · √5 ≈ 2.236 — ใช้คร่อมค่าว่าอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด

เลขชี้กำลังตรรกยะ

• a^(m/n) = (รากที่ n ของ a) ยกกำลัง m · a^(−m/n) = 1 ÷ a^(m/n)
• ฐานลบใช้ได้กับรากคี่เท่านั้น: (−8)^(1/3) = −2 · รากคู่ของจำนวนลบไม่เป็นจำนวนจริง
• สมการที่มี x^(1/3) กับ x^(1/6): ตั้ง t = x^(1/6) ⇒ x^(1/3) = t² ได้สมการกำลังสองของ t แล้วทิ้งค่า t ที่ติดลบ (เพราะ x^(1/6) ≥ 0) ก่อนยกกำลังกลับ — เช่น x^(1/3) − x^(1/6) − 2 = 0 ได้ t = 2 หรือ −1 เหลือ t = 2 ⇒ x = 64
• ฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1: ยิ่งเลขชี้กำลังมาก ค่ายิ่งน้อย (0.5² < 0.5¹) — กลับทิศกับฐานที่มากกว่า 1

จำนวนตรรกยะ/อตรรกยะ และข้อความ "จริงเสมอ"

• ตรรกยะ + ตรรกยะ = ตรรกยะ · ตรรกยะ + อตรรกยะ = อตรรกยะ · อตรรกยะ + อตรรกยะ อาจเป็นตรรกยะ (√2 + (−√2) = 0)
• ข้อความแบบ "ถ้า a < b แล้ว …" ให้ลองหาตัวอย่างค้านด้วยจำนวนลบ ศูนย์ และเศษส่วน — เจอตัวอย่างค้านเดียว ข้อความนั้นไม่จริงเสมอ
• a < b < 0 ⇒ a² > b² · 1/a > 1/b · |a| > |b| (ระวัง: สลับทิศทั้งหมดเพราะเป็นจำนวนลบ)