สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

พหุนามและการแยกตัวประกอบ — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 71 ข้อ จาก 11 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องพหุนามและการแยกตัวประกอบ

สูตรแยกตัวประกอบที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

  • a² − b² = (a − b)(a + b)
  • a² + 2ab + b² = (a + b)² และ a² − 2ab + b² = (a − b)² — พจน์กลางคือ 2ab ไม่ใช่ ab
  • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
  • a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) — เครื่องหมายของ ab ในวงเล็บหลังตรงข้ามกับวงเล็บหน้าเสมอ
  • a² + b² แยกเป็น (a + b)(a − b) ไม่ได้ (กระจายแล้วได้ a² − b²)
  • เลขชี้กำลังสูงให้มองเป็นก้อน: x⁶ = (x²)³ = (x³)² · y⁴ = (y²)² · 64 = 4³ = 8²
  • พหุนามรูป x⁴ + Bx² + C ให้แทน y = x² แล้วแยกเหมือนกำลังสองธรรมดา (หาสองจำนวนที่คูณกันได้ C และบวกกันได้ B)

คิดเลขเร็วด้วยสูตร (ข้อสอบห้ามใช้เครื่องคิดเลข)

  • 1,003 × 997 = (1,000 + 3)(1,000 − 3) = 1,000² − 3² = 999,991
  • 53² − 47² = (53 − 47)(53 + 47) = 6 × 100 = 600

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

  • หาร p(x) ด้วย x − c เศษคือ p(c) ⇒ หารด้วย x + 2 ให้แทน x = −2 (ไม่ใช่ +2)
  • หารด้วย ax − b เศษคือ p(b/a)
  • x − c เป็นตัวประกอบของ p(x) ⇔ p(c) = 0
  • (−1)ⁿ = 1 เมื่อ n เป็นเลขคู่ · (−1)ⁿ = −1 เมื่อ n เป็นเลขคี่ — ใช้บ่อยตอนแทน x = −1
  • ตัวหารเป็นกำลังสองที่แยกได้ เช่น x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) ให้แยกก่อน แล้วแทนรากทีละตัว
  • หารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษอยู่ในรูป Ax + B (ดีกรีต่ำกว่าตัวหาร) — แทนรากทั้งสองตัวแล้วแก้หา A, B
  • ถ้าเศษเท่ากัน r ทุกตัวหาร x − a, x − b, x − c ⇒ p(x) − r หารลงตัวด้วยทั้งสามตัว

เอกลักษณ์การหาร

  • ตัวตั้ง = ตัวหาร × ผลหาร + เศษ เป็นจริงทุกค่า x
  • หาค่าคงที่ที่ไม่รู้ได้ 2 ทาง: เทียบสัมประสิทธิ์ทีละดีกรี หรือแทน x ที่ทำให้คิดง่าย (เช่น x = 0, x = 1)
  • ถ้า x สอดคล้อง x² + bx + c = 0 แล้วถามค่า p(x) ดีกรีสูง ⇒ ค่าที่ถามคือเศษจากการหาร p(x) ด้วย x² + bx + c (เพราะส่วนที่หารลงตัวกลายเป็นศูนย์) — หารยาว หรือแทน x² = −bx − c ลดดีกรีไปเรื่อย ๆ

เศษส่วนของพหุนาม

  • แยกตัวประกอบทุกก้อนให้หมดก่อน (ทั้งเศษและส่วน) ค่อยตัดตัวที่ซ้ำกัน
  • หารด้วยเศษส่วน = คูณด้วยส่วนกลับ

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

ค่าของ 995 × 1,005 ตรงกับข้อใด

999,990
999,975
1,000,025
1,000,000
999,995
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ข 999,975

หาจุดกึ่งกลาง

1,005 = 1,000 + 5 และ 995 = 1,000 − 5 (ห่างจาก 1,000 ข้างละ 5)

= n = 1,000, k = 5

ใช้ผลต่างกำลังสอง

995 × 1,005 = 1,000² − 5² = 1,000,000 − 25

= = 999,975

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ใช้ 2k แทน k²

ผิด — 999,990 = 1,000,000 − 10 ใช้ 2 × 5 แทน 5² · ที่ถูก 1,000² − 5² = 1,000,000 − 25 = 999,975

ค · ใช้เครื่องหมายผิดในเอกลักษณ์

ผิด — 1,000,025 = 1,000,000 + 25 ใช้เครื่องหมายบวก (n² + k²) แต่ผลคูณของสองจำนวนที่ห่างจาก 1,000 เท่ากันต้องน้อยกว่า 1,000² · ที่ถูก 1,000² − 5² = 1,000,000 − 25 = 999,975

ง · ปัดทิ้งส่วนต่างเล็ก ๆ ไปเลย

ผิด — 1,000,000 = 1,000² ปัดส่วนต่าง 5 ทิ้งไปเลย · ที่ถูก 1,000² − 5² = 1,000,000 − 25 = 999,975

จ · ใช้ k แทน k² ในเอกลักษณ์

ผิด — 999,995 = 1,000,000 − 5 ใช้ (n − k)(n + k) = n² − k (ลบ 5 แทน 5² = 25) · ที่ถูก 1,000² − 5² = 1,000,000 − 25 = 999,975

ข้อ 2

ข้อใดเขียน x⁴ + 2x² − 8 เป็นผลคูณของพหุนามดีกรี 2 ได้ถูกต้อง

(x² − 2)(x² + 4)
(x² + 4)(x² + 2)
(x² + 2)(x² − 4)
(x² + 2)(x² − 8)
(x² + 1)²
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก (x² − 2)(x² + 4)

แทน y = x²

x⁴ + 2x² − 8 = y² + 2y − 8

หาคู่จำนวน

ต้องการสองจำนวนที่บวกกันได้ 2 และคูณกันได้ −8 คือ −2 กับ 4

= (y − 2)(y + 4)

แทนกลับและตรวจ

(x² − 2)(x² + 4) คูณกลับได้ x⁴ + 2x² − 8 ตรงกับพหุนามเดิม

= ตอบ (x² − 2)(x² + 4)

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · ไม่ตรวจเครื่องหมายผลคูณของค่าคงที่

ผิด — (x² + 4)(x² + 2) ใช้คู่ 4 กับ 2 ซึ่งคูณกันได้ 8 ไม่ใช่ −8 (ไม่ตรวจเครื่องหมายผลคูณ) (คูณกลับได้ x⁴ + 6x² + 8 ไม่ใช่ x⁴ + 2x² − 8) · ที่ถูกคือ (x² − 2)(x² + 4)

ค · ใช้ผลบวกคู่จำนวนผิดเครื่องหมาย

ผิด — (x² + 2)(x² − 4) ใช้คู่จำนวน 2 กับ −4 ซึ่งบวกกันได้ −2 แทน 2 (นำเครื่องหมายไปกลับหมด) (คูณกลับได้ x⁴ − 2x² − 8 ไม่ใช่ x⁴ + 2x² − 8) · ที่ถูกคือ (x² − 2)(x² + 4)

ง · เอาสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ของตัวประกอบทันที

ผิด — (x² + 2)(x² − 8) เอาสัมประสิทธิ์ 2 และ −8 มาเป็นค่าคงที่ของตัวประกอบทันที ทั้งที่ 2 คือผลบวกและ −8 คือผลคูณของคู่จำนวน (คูณกลับได้ x⁴ − 6x² − 16 ไม่ใช่ x⁴ + 2x² − 8) · ที่ถูกคือ (x² − 2)(x² + 4)

จ · แบ่งพจน์กลางครึ่งเดียวแล้วเหมาว่าเป็นกำลังสอง

ผิด — (x² + 1)² แบ่งพจน์กลาง 2 ครึ่งหนึ่งแล้วเหมาว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยไม่ตรวจว่า (1)² = 1 ไม่เท่ากับพจน์ท้าย −8 (คูณกลับได้ x⁴ + 2x² + 1 ไม่ใช่ x⁴ + 2x² − 8) · ที่ถูกคือ (x² − 2)(x² + 4)

ข้อ 3

ถ้า x เป็นรากของสมการ x² + 3x − 5 = 0 แล้วค่าของ −2x⁷ − 2x⁶ + 21x⁵ − 22x⁴ + 5x³ − 16x² + 9x + 7 ตรงกับข้อใด

−3
−2
0
3
7
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก −3

มองเป็นเอกลักษณ์การหาร

รากของ x² + 3x − 5 = 0 เป็นจำนวนอตรรกยะ (ดิสคริมิแนนต์ 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์) แทนค่าตรง ๆ ไม่สะดวก จึงเขียน p(x) = (x² + 3x − 5)·Q(x) + เศษ แล้วเมื่อ x² + 3x − 5 = 0 ค่าของ p(x) คือเศษ

หารยาว −2x⁷ − 2x⁶ + 21x⁵ − 22x⁴ + 5x³ − 16x² + 9x + 7 ด้วย x² + 3x − 5
พจน์ผลหาร ลบออก (พจน์ × ตัวหาร) เหลือ
−2x⁵ −2x⁷ − 6x⁶ + 10x⁵ 4x⁶ + 11x⁵ − 22x⁴ + 5x³ − 16x² + 9x + 7
4x⁴ 4x⁶ + 12x⁵ − 20x⁴ −x⁵ − 2x⁴ + 5x³ − 16x² + 9x + 7
−x³ −x⁵ − 3x⁴ + 5x³ x⁴ − 16x² + 9x + 7
x² x⁴ + 3x³ − 5x² −3x³ − 11x² + 9x + 7
−3x −3x³ − 9x² + 15x −2x² − 6x + 7
−2 −2x² − 6x + 10 −3
ตรวจกลับด้วยพจน์ค่าคงที่

ตรวจพจน์ค่าคงที่: (−5) × (−2) + (−3) = 7 ตรงกับค่าคงที่ของพหุนามเดิม

= ตอบ −3

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · หยิบตัวเลขสุดท้ายของผลหารมาตอบแทนเศษ

ผิด — −2 คือพจน์ค่าคงที่ของผลหาร −2x⁵ + 4x⁴ − x³ + x² − 3x − 2 (ตัวเลขท้ายบรรทัดผลหาร) ไม่ใช่เศษ · เศษคือสิ่งที่เหลือใต้การลบครั้งสุดท้าย = −3

ค · แทน x = 1 เพราะไม่ได้แยกตัวประกอบตัวหาร

ผิด — 0 = −2 − 2 + 21 − 22 + 5 − 16 + 9 + 7 คือแทน x = 1 ซึ่งไม่ใช่รากของ x² + 3x − 5 = 0 (แทนแล้วได้ −1 ไม่ใช่ 0) · ที่ถูก หารยาวด้วย x² + 3x − 5 ได้เศษ −3 ค่าที่ถามจึงเป็น −3

ง · ทิ้งเครื่องหมายของเศษ

ผิด — 3 คือเศษที่ทิ้งเครื่องหมาย: การลบครั้งสุดท้ายของการหารยาวเหลือ −3 แต่จดเป็น 3 (ตรวจพจน์ค่าคงที่: (−5) × (−2) + (−3) = 7 ตรงกับค่าคงที่ของพหุนามเดิม ⇒ เศษต้องเป็น −3) · ที่ถูก หารยาวด้วย x² + 3x − 5 ได้เศษ −3 ค่าที่ถามจึงเป็น −3

จ · คิดว่าสมการทำให้พจน์ที่มี x หายหมด

ผิด — 7 คือค่าคงที่ของพหุนาม ได้จากการคิดว่า x² + 3x − 5 = 0 ทำให้ทุกพจน์ที่มี x เป็นศูนย์ แต่ที่เป็นศูนย์คือก้อน (x² + 3x − 5) ทั้งก้อน ไม่ใช่ x · ที่ถูก หารยาวด้วย x² + 3x − 5 ได้เศษ −3 ค่าที่ถามจึงเป็น −3

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องพหุนามและการแยกตัวประกอบ

แทน x ผิดเครื่องหมายสำหรับตัวหาร x + 1

x + 1 = 0 ⇒ x = −1 เขียนสมการนี้ก่อนแทนเสมอ

ตอบค่ารวมผิดชนิด

กลับไปอ่านบรรทัดสุดท้ายของโจทย์ก่อนเลือกตัวเลือก

แทน x = 1 เพราะไม่ได้แยกตัวประกอบตัวหาร

ตัวหารดีกรีสอง ต้องแยกตัวประกอบให้เป็นเชิงเส้นก่อนเสมอ ทฤษฎีบทตัวประกอบใช้กับตัวหารเชิงเส้นเท่านั้น

เครื่องหมายพจน์กลางของสูตรกำลังสามผิด

ท่องว่า "วงเล็บหน้าตามโจทย์ พจน์กลางตรงข้าม" แล้วตรวจด้วยการคูณเฉพาะพจน์ที่ให้ a²b: ถ้าไม่หักล้างกันเป็นศูนย์ แสดงว่าเครื่องหมายผิด

พจน์กลางของสูตรกำลังสามเป็น 2ab

สูตรกำลังสาม พจน์กลางคือ ab ไม่มี 2 — ทดสอบด้วย a = b = 1: (1 + 1)(1 − 1 + 1) = 2 = 1³ + 1³ ✓ แต่ (1 + 1)(1 − 2 + 1) = 0 ✗

ตัดข้อที่ถูกทิ้งเพราะหน้าตาไม่คุ้น

ถ้าไม่แน่ใจ ให้กระจายฝั่งขวาแล้วเทียบกับฝั่งซ้าย การกระจายไม่เคยโกหก ส่วนความคุ้นตาโกหกได้

ฝึกเรื่องพหุนามและการแยกตัวประกอบต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)