สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 20 ข้อ จาก 7 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

รูปร่างของกราฟ y = ax² + bx + c

  • a > 0 กราฟหงาย (มีค่าต่ำสุด) · a < 0 กราฟคว่ำ (มีค่าสูงสุด)
  • จุดยอดอยู่ที่ x = −b ÷ (2a) แล้วแทนค่ากลับหา y
  • รูปจุดยอด y = a(x − h)² + k: จุดยอด (h, k) · แกนสมมาตร x = h · ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดคือ k
  • จุดตัดแกน y = (0, c) · จุดตัดแกน x = คำตอบของ ax² + bx + c = 0
  • จุดตัดแกน x สองจุดสมมาตรกันรอบแกนสมมาตร ⇒ h = ค่าเฉลี่ยของจุดตัดแกน x ทั้งสอง

การเลื่อนและสะท้อนกราฟ

  • y = a(x − h)² + k คือกราฟ y = ax² ที่เลื่อนไปทางขวา h หน่วยและขึ้น k หน่วย
  • สะท้อนกับแกน x: เปลี่ยน y เป็น −y (กราฟหงายกลายเป็นคว่ำ) · จุดยอด (h, k) กลายเป็น (h, −k)

โจทย์ค่าสูงสุด/ต่ำสุด

  • เขียนสิ่งที่ถามให้เป็นฟังก์ชันกำลังสองของตัวแปรเดียว แล้วหาจุดยอด
  • รายรับ = ราคาต่อหน่วย × จำนวนที่ขายได้ — ขึ้นราคาทีละขั้นแล้วลูกค้าลดทีละขั้น ให้ตั้งตัวแปรเป็นจำนวนขั้น
  • มีเงื่อนไขเชิงเส้นมาด้วย (เช่น x + y = 10) ให้แทนตัวแปรหนึ่งออกก่อน ให้เหลือตัวแปรเดียว
  • โจทย์สายไฟหรือสะพานโค้ง: วางจุดยอดไว้ที่ (0, k) สมการเป็น y = ax² + k แล้วแทนจุดที่รู้ (เช่น ยอดเสา) เพื่อหา a
  • พื้นที่สามเหลี่ยมจากจุดตัดกราฟ: หาพิกัดจุดตัดให้ครบก่อน แล้วใช้ ½ × ฐาน × สูง

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

เมื่อ x เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชัน f(x) = −x² + 6x + 9 มีค่าสูงสุดเท่าใด

−18
0
18
3
9
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ค 18

ตั้งสมการจากข้อมูล

จัดรูป f(x) = −(x − 3)² + 18

= จัดรูป f(x) = −(x − 3)² + 18

คำนวณและตรวจเงื่อนไข

กำลังสองมีค่าไม่ติดลบ และสัมประสิทธิ์ของ x² เป็นลบ จึงได้ f(x) ≤ 18

สรุปคำตอบ

เท่ากันเมื่อ x = 3 ซึ่งเป็นจำนวนจริง
ดังนั้นค่าสูงสุดเท่ากับ 18

= ดังนั้นค่าสูงสุดเท่ากับ 18

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ลืมเครื่องหมายลบที่ตำแหน่งจุดยอด

หาตำแหน่งจุดยอดโดยลืมเครื่องหมายลบ แล้วแทนค่าผิดจุด จึงได้ −18 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือใช้ตำแหน่งจุดยอดเท่ากับลบของสัมประสิทธิ์กำลังหนึ่ง หารด้วยสองเท่าของสัมประสิทธิ์กำลังสอง

ข · ชดเชยกำลังสองสมบูรณ์ผิดเครื่องหมาย

ตอนจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ บวกค่าชดเชยแทนที่จะลบ จึงได้ 0 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือกระจายรูปกำลังสองสมบูรณ์กลับแล้วเทียบพจน์ค่าคงที่กับโจทย์

ง · ตอบตำแหน่งจุดยอดแทนค่าฟังก์ชัน

หยุดที่ตำแหน่งของจุดยอดบนแกนนอน ทั้งที่โจทย์ถามค่าของฟังก์ชัน จึงได้ 3 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือแทนตำแหน่งจุดยอดกลับเข้าไปในฟังก์ชันเพื่อหาค่าสุดขีด

จ · ใช้พจน์ค่าคงที่เป็นค่าสุดขีด

ถือว่าพจน์ค่าคงที่ของฟังก์ชันเป็นค่าสุดขีดทันที จึงได้ 9 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือจำว่าพจน์ค่าคงที่คือค่าของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรเป็นศูนย์ ต้องจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์หาจุดยอดก่อน

ข้อ 2

นำกราฟ y = −x² + 6x − 4 เลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ (2, 4)
แล้วสะท้อนกราฟที่ได้ในเส้นตรง x = −3 จุดสูงสุดของกราฟสุดท้ายมีพิกัดตรงกับข้อใด

(−11, 9)
(−7, 1)
(5, −15)
(−5, −27)
(−5, 9)
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก (−11, 9)

ตั้งสมการจากข้อมูล

กราฟเดิมคือ y = −(x − 3)² + 5 มีจุดสูงสุด (3, 5)

คำนวณและตรวจเงื่อนไข

เลื่อนด้วยเวกเตอร์ (2, 4) ได้จุดสูงสุดใหม่ (5, 9)

สรุปคำตอบ

สะท้อนในเส้น x = −3 ได้พิกัด x ใหม่ = 2×(−3) − 5 = −11 ส่วนพิกัด y คงเดิม
กราฟยังคว่ำ จุดสูงสุดของกราฟสุดท้ายจึงเป็น (−11, 9)

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · เลื่อนสวนทิศเวกเตอร์

ลบองค์ประกอบของเวกเตอร์ออกจากพิกัดแทนการบวก จากจุดยอด (3, 5) เลื่อนสวนทิศได้ (1, 1) แล้วสะท้อน จึงได้ (−7, 1) ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือบวกองค์ประกอบของเวกเตอร์เข้ากับพิกัด และถ้าเวกเตอร์มาจากสองจุดให้ใช้จุดปลายลบจุดต้น

ค · สับสนเส้นแนวตั้งกับแนวนอน

เปลี่ยนพิกัด y ทั้งที่เส้นสะท้อนเป็นเส้นแนวตั้ง จากจุดหลังเลื่อน (5, 9) จึงได้ (5, −15) ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือจำว่าการสะท้อนในเส้นแนวตั้งเปลี่ยนเฉพาะพิกัด x

ง · เริ่มจากจุดยอดผิดเครื่องหมาย

หาพิกัด x ของจุดยอดเดิมโดยลืมเครื่องหมายลบ จึงเริ่มแปลงจากจุดผิด ใช้จุดเริ่ม (−3, −31) เลื่อนได้ (−1, −27) แล้วสะท้อน จึงได้ (−5, −27) ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาจุดยอดเดิมก่อนแปลง

จ · สะท้อนในแกน y แทนเส้นที่กำหนด

เปลี่ยนพิกัด x เป็นจำนวนตรงข้าม เหมือนสะท้อนในแกน y จากจุดหลังเลื่อน (5, 9) จึงได้ (−5, 9) ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือใช้ว่าเส้นสะท้อนอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดกับภาพ พิกัด x ใหม่จึงเท่ากับสองเท่าของตำแหน่งเส้นลบพิกัด x เดิม

ข้อ 3

ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ x − y² = 4 ค่าต่ำสุดของ xy² + 4y² + 5 เท่ากับเท่าใด

5
53
14
0
−2
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ก 5

ตั้งสมการจากข้อมูล

ให้ u = y² จึงได้ u ≥ 0 และจากเงื่อนไขได้ x = u + 4

คำนวณและตรวจเงื่อนไข

แทนแล้วนิพจน์เท่ากับ u² + 8u + 5

= แทนแล้วนิพจน์เท่ากับ u² + 8u + 5

สรุปคำตอบ

เมื่อ u ≥ 0 ทั้ง u² และ 8u ไม่ติดลบ นิพจน์จึงมีค่าอย่างน้อย 5 และเท่ากันเมื่อ y = 0, x = 4
จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ u = −4 ซึ่งติดลบ จึงใช้ค่าที่จุดยอดนั้นไม่ได้

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ข · ใช้จุดยอดผิดเครื่องหมาย

หาจุดยอดโดยลืมเครื่องหมายลบ จึงได้ค่า y² เป็นบวกที่ดูเหมือนใช้ได้ จึงได้ 53 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือหาจุดยอดให้ถูกก่อน แล้วตรวจว่าอยู่ในช่วงที่ y² ไม่ติดลบหรือไม่

ค · ถือว่า y² มีค่าน้อยสุดเป็นหนึ่ง

ตัดกรณี y เป็นศูนย์ออก คิดว่า y² น้อยสุดคือ 1 จึงได้ 14 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือจำว่า y เป็นจำนวนจริงจึงเป็นศูนย์ได้ y² จึงมีค่าน้อยสุดเป็นศูนย์

ง · ลืมค่าคงที่หลังหาค่าต่ำสุด

ตอบเฉพาะค่าต่ำสุดของพจน์ที่มีตัวแปร จึงได้ 0 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือบวกค่าคงที่กลับเข้าไปเพราะค่าคงที่เลื่อนค่าทุกจุดเท่ากัน

จ · คิดว่ากำลังสองของจำนวนลบยังติดลบ

คิดว่า y² เป็น −1 ได้เมื่อ y เป็น −1 จึงได้ −2 ซึ่งไม่ถูกต้อง แนวแก้คือจำว่ากำลังสองของจำนวนจริงไม่ติดลบ เช่น (−1)² เท่ากับ 1

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ชดเชยกำลังสองสมบูรณ์ผิดเครื่องหมาย

กระจายรูปกำลังสองสมบูรณ์กลับแล้วเทียบพจน์ค่าคงที่กับโจทย์

ใช้พจน์ค่าคงที่เป็นค่าสุดขีด

จำว่าพจน์ค่าคงที่คือค่าของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรเป็นศูนย์ ต้องจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์หาจุดยอดก่อน

หารด้วยสี่เท่าตอนหาตำแหน่งจุดยอด

ตำแหน่งจุดยอดหารด้วยสองเท่าของสัมประสิทธิ์กำลังสอง ส่วนตัวหารสี่เท่าใช้กับค่าชดเชยเท่านั้น

วัดความสูงจากแกนนอน

วัดความสูงจากจุดยอด V ตั้งฉากลงถึงเส้นตัด

ใช้ระยะถึงจุด P เป็นครึ่งฐาน

แก้สมการหาจุดตัดกับเส้นที่กำหนดจริง แล้ววัดระยะระหว่าง B กับ C

ใช้ความสูงซ้ำเป็นฐาน

แยกฐานจากผลต่างพิกัดแนวนอน และสูงจากผลต่างพิกัด y

ฝึกเรื่องกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)