สนามหมู ฝึกข้อสอบราชการ · เตรียมทหาร
สมัคร

หลักการนับเบื้องต้น — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย

โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก · ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 24 ข้อ จาก 14 แนว · ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย

สิ่งที่ต้องรู้เรื่องหลักการนับเบื้องต้น

กฎการคูณและกฎการบวก

  • งานที่ทำเป็นขั้น ๆ ขั้นแรกทำได้ m วิธี ขั้นต่อไปทำได้ n วิธี ⇒ ทั้งงานทำได้ m × n วิธี
  • งานที่แยกเป็นกรณีไม่ซ้อนกัน ⇒ บวกจำนวนวิธีของแต่ละกรณี
  • เริ่มจากตำแหน่งที่มีเงื่อนไขก่อนเสมอ เช่น จำนวน 4 หลักที่หาร 5 ลงตัวและไม่ใช้เลขซ้ำ: เลือกหลักหน่วย (0 หรือ 5) ก่อน และระวังหลักพันห้ามเป็น 0 ⇒ ต้องแยกกรณีหลักหน่วยเป็น 0 กับเป็น 5
  • นับแบบตรง ๆ ยาก ให้ใช้ ทั้งหมด − แบบที่ไม่ต้องการ

การจัดเรียงและการเลือก

  • จัดของ n สิ่งที่ต่างกันเรียงเป็นแถว = n! วิธี (n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1)
  • เลือก r สิ่งจาก n สิ่งมาเรียงลำดับ = n!/(n − r)! วิธี
  • เลือก r สิ่งจาก n สิ่ง ไม่สนลำดับ = n!/(r! × (n − r)!) วิธี
  • ของที่ต้องติดกัน: มัดเป็นก้อนเดียว จัดก้อนนั้นกับของที่เหลือ แล้วคูณด้วยจำนวนวิธีสลับกันเองภายในก้อน
  • ของที่ห้ามติดกัน: จัดกลุ่มที่ไม่มีเงื่อนไขก่อน แล้วแทรกกลุ่มที่ห้ามติดลงช่องว่างระหว่างนั้น (รวมช่องหัวท้าย)
  • จำนวนฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B = n(B) ยกกำลัง n(A)

นับจำนวนน้อย ๆ ให้แจกแจงอย่างเป็นระบบ

  • โจทย์แบบหยิบสลากแล้วผลรวมตามเงื่อนไข หรือปูกระเบื้อง ให้ไล่เป็นตาราง/กรณีตามลำดับ ไม่ข้าม ไม่ซ้ำ
  • ตรวจว่าโจทย์หยิบใส่คืนหรือไม่ใส่คืน และสนลำดับหรือไม่ ก่อนเริ่มนับ

โจทย์ตัวอย่าง

ข้อ 1

สร้างรหัสยาว 4 ตำแหน่งจากอักษร A, B, C, D, E, F โดยอักษรทุกคู่ที่อยู่ติดกันต้องต่างกัน อักษรที่ไม่ติดกันใช้ซ้ำได้ และไม่มีข้อจำกัดระหว่างตัวแรกกับตัวสุดท้าย จะสร้างได้กี่รหัส

480
648
750
900
3750
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ค 750

แยกเงื่อนไข

ตัวแรกเลือกได้ 6 แบบ

นับแต่ละกรณี

อีก 3 ตำแหน่งห้ามเพียงอักษรตัวก่อนหน้า จึงเลือกได้ตำแหน่งละ 5 แบบ
อักษรที่อยู่ห่างกันซ้ำได้ จึงไม่ลดจำนวนทางเลือกต่อเนื่อง

รวมจำนวนวิธี

รวม 6 × 5 × 5 × 5 = 750 รหัส

= 750

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ห้ามซ้ำกับสองตัวก่อนหน้า

ได้ 480 เมื่อตั้งแต่ตัวที่สามห้ามซ้ำทั้งสองตัวก่อนหน้า · ที่ถูก: ห้ามเพียงตัวที่อยู่ติดกัน

ข · ลบคู่ติดกันซ้ำทีละคู่

ได้ 648 เมื่อลบกรณีคู่ติดกันซ้ำทีละคู่โดยไม่บวกกรณีที่ซ้ำหลายคู่คืน · ที่ถูก: ใช้หลักคูณทีละตำแหน่งแทนการลบ

ง · เริ่มห้ามซ้ำที่ตัวที่สาม

ได้ 900 เมื่อลืมคู่ตัวแรกกับตัวที่สอง · ที่ถูก: ตรวจทุกคู่รวมคู่แรก

จ · นับตำแหน่งเกินหนึ่ง

ได้ 3750 เมื่อคูณจำนวนทางเลือกของตำแหน่งถัดไปเกินหนึ่งครั้ง · ที่ถูก: หลังตัวแรกเหลือตำแหน่งน้อยกว่าความยาวรหัสหนึ่งตำแหน่ง

ข้อ 2

ใช้เลขโดด 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8 สร้างจำนวนคู่ x ซึ่ง 100 ≤ x < 10000 โดยเลขโดดในจำนวนเดียวกันห้ามซ้ำ จะได้กี่จำนวน

105
315
420
500
525
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ จ 525

แยกเงื่อนไข

แยกตามจำนวนหลักตั้งแต่ 3 ถึง 4 หลัก โดยหลักแรกห้ามเป็น 0 และหลักหน่วยอยู่ใน {0, 2, 6, 8}

นับแต่ละกรณี

จำนวน 3 หลัก ลงท้าย 0 ได้ 30 จำนวน ลงท้ายเลขคู่อื่นได้ 3 × 5 × 5 = 75 จำนวน รวม 105 จำนวน
จำนวน 4 หลัก ลงท้าย 0 ได้ 120 จำนวน ลงท้ายเลขคู่อื่นได้ 3 × 5 × 20 = 300 จำนวน รวม 420 จำนวน

รวมจำนวนวิธี

กรณีจำนวนหลักต่างกันไม่ซ้ำกัน รวมได้ 525 จำนวน

= 525

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · นับเฉพาะความยาวน้อยที่สุด

ได้ 105 เมื่อลืมจำนวนที่ยาวกว่า · ที่ถูก: ขอบเขตจำนวนครอบคลุมหลายความยาว

ข · ใช้จัดหมู่กับหลักกลาง

ได้ 315 เมื่อไม่สนลำดับของหลักกลาง · ที่ถูก: หลักกลางสลับที่แล้วได้จำนวนใหม่ ต้องนับแบบเรียงลำดับ ไม่ใช่เลือกเป็นกลุ่ม

ค · นับเฉพาะความยาวมากที่สุด

ได้ 420 เมื่อลืมจำนวนที่สั้นกว่า · ที่ถูก: แจกแจงจำนวนหลักทุกค่าก่อนนับ

ง · หักศูนย์จากหลักแรกทุกกรณี

ได้ 500 เมื่อหักทั้งเลขหลักหน่วยและศูนย์ออกจากหลักแรกทุกกรณี แม้กรณีหลักหน่วยเป็นศูนย์ไปแล้ว · ที่ถูก: กรณีหลักหน่วยเป็น 0 หลักแรกเหลือทางเลือกมากกว่ากรณีอื่นหนึ่งทาง

ข้อ 3

มีแฟ้มต่างกัน 8 แฟ้ม แบ่งเป็นกลุ่ม A จำนวน 1 แฟ้ม กลุ่ม B จำนวน 3 แฟ้ม และกลุ่ม C จำนวน 4 แฟ้ม แต่ละแฟ้มอยู่เพียงกลุ่มเดียว เลือก 5 แฟ้มมาวางช่องหมายเลข 1 ถึง 5 ช่องละหนึ่งแฟ้ม ห้ามใช้แฟ้มซ้ำ ช่อง 1 ห้ามกลุ่ม A และช่อง 2 ห้ามกลุ่ม B ช่องอื่นไม่จำกัด จะจัดได้กี่แบบ

3000
3720
4200
5880
6720
ดูเฉลยและวิธีคิด

ตอบ ข 3720

แยกเงื่อนไข

หากไม่มีข้อห้าม เลือกมาเรียงได้ 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6720 แบบ

นับแต่ละกรณี

ผิดที่ช่อง 1 มี 1 × 840 = 840 แบบ ผิดที่ช่อง 2 มี 3 × 840 = 2520 แบบ
ผิดทั้งสองช่องมี 1 × 3 × 120 = 360 แบบ เพราะกลุ่ม A กับ B ไม่ทับกัน

รวมจำนวนวิธี

ลบแต่ละข้อห้ามและบวกส่วนที่ลบซ้ำกลับ ได้ 6720 − 840 − 2520 + 360 = 3720 แบบ

= 3720

ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน

ก · ลบส่วนร่วมแทนบวกคืน

ได้ 3000 เมื่อลบส่วนที่ผิดทั้งสองช่องเพิ่มอีกครั้ง · ที่ถูก: ส่วนร่วมถูกลบไปสองครั้งแล้ว ต้องบวกคืน

ค · ถือสองตำแหน่งแรกอิสระ

ได้ 4200 เมื่อเลือกของชิ้นเดียวซ้ำในสองช่องแรกโดยไม่รู้ตัว · ที่ถูก: สองช่องใช้ของร่วมกัน ต้องตัดกรณีซ้ำ

ง · ตรวจเฉพาะข้อห้ามตำแหน่งแรก

ได้ 5880 เมื่อลืมตำแหน่งสอง · ที่ถูก: เขียนข้อห้ามครบก่อนนับ

จ · ไม่ตัดข้อห้ามรายตำแหน่ง

ได้ 6720 เมื่อเห็นเพียงข้อห้ามใช้ซ้ำ · ที่ถูก: แยกการไม่ซ้ำออกจากข้อห้ามตำแหน่ง

หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องหลักการนับเบื้องต้น

ยอมให้ศูนย์เป็นหลักแรก

ตัดศูนย์เฉพาะหลักแรก

ละเลยข้อจำกัดหลักหน่วย

กรองหลักหน่วยก่อนเลือกหลักอื่น

หักศูนย์จากหลักแรกทุกกรณี

กรณีหลักหน่วยเป็น 0 หลักแรกเหลือทางเลือกมากกว่ากรณีอื่นหนึ่งทาง

นับหลักกลางขาดหนึ่งตำแหน่ง

เมื่อตรึงหลักแรกและหลักหน่วยแล้ว หลักกลางมีน้อยกว่าจำนวนหลักทั้งหมดสองตำแหน่ง

ลืมตัดเลขของหลักแรกออกจากหลักกลาง

หลักกลางเลือกจากเลขที่เหลือหลังตัดทั้งหลักแรกและหลักหน่วย

ไม่นับตัวที่ไม่มีข้อจำกัด

ตัวที่ไม่มีข้อจำกัดยังต้องคูณจำนวนแบบทั้งหมดของมัน

ฝึกเรื่องหลักการนับเบื้องต้นต่อ — ตอบผิดเมื่อไหร่ ระบบบอกว่าคุณคิดพลาดตรงไหน แล้วให้ข้อฝาแฝดลองซ้ำทันที

สมัครฟรี แล้วฝึกหัวข้อนี้

มีบัญชีแล้ว? เข้าสู่ระบบ

เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่

แนวข้อสอบหัวข้ออื่น

คณิตศาสตร์

สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ตรรกศาสตร์ · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป

วิทยาศาสตร์

พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)