ตรรกศาสตร์ — แนวข้อสอบเตรียมทหาร พร้อมเฉลย
โจทย์ตัวอย่าง 3 ข้อ แนวละ 1 ข้อ เรียงจากง่ายไปยาก
· ในคลังของเรามีหัวข้อนี้ 73 ข้อ จาก 9 แนว
· ลองคิดคำตอบในใจก่อน แล้วค่อยกดดูเฉลย
สิ่งที่ต้องรู้เรื่องตรรกศาสตร์
ตารางค่าความจริงที่ต้องแม่น
| p |
q |
p ∧ q |
p ∨ q |
p → q |
p ↔ q |
| T |
T |
T |
T |
T |
T |
| T |
F |
F |
T |
F |
F |
| F |
T |
F |
T |
T |
F |
| F |
F |
F |
F |
T |
T |
- p → q เป็นเท็จได้ทางเดียว: เหตุจริง ผลเท็จ (เหตุเท็จเมื่อไหร่ ทั้งประโยคจริงเสมอ)
- p ∨ q เป็นเท็จได้ทางเดียว: เท็จทั้งคู่ · p ∧ q เป็นจริงได้ทางเดียว: จริงทั้งคู่
- p ↔ q จริงเมื่อค่าเหมือนกัน — F ↔ F จึงเป็นจริง
- สามข้อบนใช้ "ย้อน" หาค่า p, q, r เมื่อโจทย์บอกว่าประพจน์ใหญ่เป็นจริงหรือเท็จ
รูปแบบที่สมมูลกัน
- p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
- บทกลับ q → p และบทผกผัน ~p → ~q ไม่สมมูลกับ p → q (แต่สมมูลกันเอง)
- ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q · ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q — นิเสธแล้วต้องสลับ ∧ กับ ∨
- ~(p → q) ≡ p ∧ ~q — นิเสธของ "ถ้า...แล้ว" ไม่ใช่ประโยค "ถ้า...แล้ว" อีกอัน
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- สัจนิรันดร์ = จริงทุกกรณี · ตรวจเร็วด้วยการสมมติให้เป็นเท็จ ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง ⇒ เป็นสัจนิรันดร์ ถ้าหากรณีที่เป็นเท็จได้แม้แถวเดียว ⇒ ไม่เป็น — ตรวจแถวเดียวแล้วเจอว่าจริง ยังสรุปไม่ได้
- การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล เมื่อทุกกรณีที่เหตุจริงทุกข้อ ผลต้องจริงด้วย
- รูปที่ถูก: p → q, p ∴ q · p → q, ~q ∴ ~p · p ∨ q, ~p ∴ q · p → q, q → r ∴ p → r
- รูปที่ผิดแต่หน้าตาคล้าย: p → q, q ∴ p (ยืนยันผล) · p → q, ~p ∴ ~q (ปฏิเสธเหตุ)
ตัวบ่งปริมาณ
- ∀x P(x) จริงเมื่อ P(x) จริงกับสมาชิกทุกตัวในเอกภพ — เจอตัวอย่างค้านตัวเดียวก็เป็นเท็จ
- ∃x P(x) จริงเมื่อมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ P(x) จริง
- ไล่ให้ครบทุกตัวในเอกภพที่โจทย์กำหนด (รวมค่าลบและศูนย์) และคิดเฉพาะในเอกภพนั้น
- ∀x∃y: แต่ละ x หา y ของตัวเองได้ · ∃y∀x: ต้องมี y ตัวเดียวที่ใช้ได้กับทุก x
- นิเสธ: ~∀x P(x) ≡ ∃x ~P(x) และ ~∃x P(x) ≡ ∀x ~P(x) แล้วต้องนิเสธข้างในด้วย เช่น นิเสธของ x > 2 คือ x ≤ 2 (ไม่ใช่ x < 2) · นิเสธของ "ทุกคน...ได้" คือ "มีบางคน...ไม่ได้"
ปริศนาใครพูดจริงใครพูดเท็จ
- สมมติสถานะของคนหนึ่ง แล้วไล่ผลตามคำให้การ จากนั้นตรวจย้อนทุกคน ขัดแย้งเมื่อไหร่ให้กลับไปสมมติใหม่
- คำให้การของคนพูดเท็จต้องเป็นเท็จ — นิเสธของ "X และ Y พูดเท็จ" คือ "อย่างน้อยหนึ่งคนพูดจริง"
โจทย์ตัวอย่าง
ข้อ 1
กำหนดให้
- p แทนประพจน์ "−3 เป็นจำนวนนับ"
- q แทนประพจน์ "1 เป็นจำนวนเฉพาะ"
ข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
ก
~(p → (p ↔ q))
ข
~((q → p) ∨ (p ↔ q))
ค
~(q → (q ∨ ~p))
ง
~((p → q) → ~q)
จ
~p → (p → q)
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ จ ~p → (p → q)
1
หาค่าความจริงของอะตอมก่อน
- p: "−3 เป็นจำนวนนับ" เป็นเท็จ
- q: "1 เป็นจำนวนเฉพาะ" เป็นเท็จ
2
ไล่ค่าข้อที่ตอบ (~p → (p → q)) จากวงเล็บในออกนอก
- ~p = ~เท็จ = จริง
- p → q = เท็จ → เท็จ = จริง
- ~p → (p → q) = จริง → จริง = จริง
3
ตรวจข้ออื่นให้ครบ
- ~(p → (p ↔ q)) = เท็จ
- ~((q → p) ∨ (p ↔ q)) = เท็จ
- ~(q → (q ∨ ~p)) = เท็จ
- ~((p → q) → ~q) = เท็จ
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · เหตุเท็จแล้วคิดว่าเงื่อนไขเท็จ
ผิด — ข้อนี้มีค่าเป็นเท็จ (~(p → (p ↔ q)) = ~จริง = เท็จ) คนที่เลือกข้อนี้คิดว่า "ถ้า…แล้ว…" ที่เหตุเป็นเท็จจะเป็นเท็จ ทั้งที่เมื่อเหตุเป็นเท็จ ประพจน์ถ้า-แล้วเป็นจริงเสมอ
ข · อ่าน "หรือ" แบบเลือกอย่างเดียว
ผิด — ข้อนี้มีค่าเป็นเท็จ (~((q → p) ∨ (p ↔ q)) = ~จริง = เท็จ) คนที่เลือกข้อนี้อ่าน "หรือ" แบบเลือกได้อย่างเดียว ทั้งที่ p ∨ q เป็นจริงเมื่อจริงทั้งคู่ด้วย
ค · เหตุเท็จแล้วคิดว่าเงื่อนไขเท็จ
ผิด — ข้อนี้มีค่าเป็นเท็จ (~(q → (q ∨ ~p)) = ~จริง = เท็จ) คนที่เลือกข้อนี้คิดว่า "ถ้า…แล้ว…" ที่เหตุเป็นเท็จจะเป็นเท็จ ทั้งที่เมื่อเหตุเป็นเท็จ ประพจน์ถ้า-แล้วเป็นจริงเสมอ
ง · ตัดสินข้อเท็จจริงคณิตศาสตร์ผิดตั้งแต่ต้น
ผิด — ข้อนี้มีค่าเป็นเท็จ (~((p → q) → ~q) = ~จริง = เท็จ) คนที่เลือกข้อนี้ตัดสินข้อเท็จจริงของอะตอมผิด
ข้อ 2
ข้อความ "ถ้าฝนไม่ได้ตกติดต่อกันสามวัน แล้วสนามฝึกจะปิดซ่อม" สมมูลกับข้อความใด
ก
ถ้าสนามฝึกจะปิดซ่อม แล้วฝนไม่ได้ตกติดต่อกันสามวัน
ข
ถ้าฝนตกติดต่อกันสามวัน แล้วสนามฝึกจะไม่ปิดซ่อม
ค
ถ้าสนามฝึกจะไม่ปิดซ่อม แล้วฝนตกติดต่อกันสามวัน
ง
ฝนไม่ได้ตกติดต่อกันสามวัน และสนามฝึกจะปิดซ่อม
จ
ฝนไม่ได้ตกติดต่อกันสามวัน ก็ต่อเมื่อสนามฝึกจะปิดซ่อม
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ ค ถ้าสนามฝึกจะไม่ปิดซ่อม แล้วฝนตกติดต่อกันสามวัน
1
แปลงประโยคเป็นสัญลักษณ์
ให้ a แทน "ฝนตกติดต่อกันสามวัน" และ b แทน "สนามฝึกจะปิดซ่อม" ข้อความเดิมเขียนได้เป็น ~a → b
2
เทียบตารางค่าความจริง
| a |
b |
ข้อความเดิม (~a → b) |
ข้อที่ตอบ |
| T |
T |
T |
T |
| T |
F |
T |
T |
| F |
T |
T |
T |
| F |
F |
F |
F |
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · คิดว่าบทกลับสมมูลกับต้นฉบับ
ผิด — สลับเหตุกับผล (บทกลับ) ซึ่งไม่สมมูลกับประโยคเดิม · ดูกรณี "ฝนตกติดต่อกันสามวัน" และ "สนามฝึกจะปิดซ่อม": ข้อนี้เป็นเท็จ แต่ข้อความเดิมเป็นจริง
ข · คิดว่าบทผกผันสมมูลกับต้นฉบับ
ผิด — นิเสธทั้งสองข้างโดยไม่สลับ (บทผกผัน) ซึ่งไม่สมมูลกับประโยคเดิม · ดูกรณี "ฝนตกติดต่อกันสามวัน" และ "สนามฝึกจะปิดซ่อม": ข้อนี้เป็นเท็จ แต่ข้อความเดิมเป็นจริง
ง · อ่าน ถ้า-แล้ว เป็น และ
ผิด — อ่าน "ถ้า…แล้ว…" เป็น "และ" · ดูกรณี "ฝนตกติดต่อกันสามวัน" และ "สนามฝึกจะปิดซ่อม": ข้อนี้เป็นเท็จ แต่ข้อความเดิมเป็นจริง
จ · อ่าน → เป็น ↔
ผิด — อ่าน "ถ้า…แล้ว…" เป็น "ก็ต่อเมื่อ" · ดูกรณี "ฝนตกติดต่อกันสามวัน" และ "สนามฝึกจะปิดซ่อม": ข้อนี้เป็นเท็จ แต่ข้อความเดิมเป็นจริง
ข้อ 3
กำหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ใด ๆ
ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์
ก
~(p → q) ↔ (p → ~q)
ข
(p → q) → (q → p)
ค
(p ↔ q) → p
ง
(~q → r) → r
จ
((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p)
ดูเฉลยและวิธีคิด
ตอบ จ ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p)
1
ไล่ตารางค่าความจริงของข้อที่ตอบ
| p |
q |
r |
((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) |
| T |
T |
T |
T |
| T |
T |
F |
T |
| T |
F |
T |
T |
| T |
F |
F |
T |
| F |
T |
T |
T |
| F |
T |
F |
T |
| F |
F |
T |
T |
| F |
F |
F |
T |
2
ตรวจข้ออื่น
- ~(p → q) ↔ (p → ~q): เท็จเมื่อ p = F, q = T
- (p → q) → (q → p): เท็จเมื่อ p = F, q = T
- (p ↔ q) → p: เท็จเมื่อ p = F, q = F
- (~q → r) → r: เท็จเมื่อ q = T, r = F
ถ้าตอบข้ออื่น คุณพลาดตรงไหน
ก · นิเสธของ → เขียนเป็น → อีกอัน
ผิด — ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เพราะเมื่อ p = F, q = T รูปนี้เป็นเท็จ คนที่เลือกข้อนี้คิดว่า ~(p → q) คือ p → ~q ทั้งที่ ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
ข · ยืนยันผลแล้วสรุปว่าเหตุจริง
ผิด — ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เพราะเมื่อ p = F, q = T รูปนี้เป็นเท็จ คนที่เลือกข้อนี้สับสน p → q กับบทกลับ q → p (คิดว่ารู้ว่าผลจริง แล้วสรุปได้ว่าเหตุจริง) ซึ่งไม่สมเหตุสมผล
ค · ตรวจแถวเดียวแล้วสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
ผิด — ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เพราะเมื่อ p = F, q = F รูปนี้เป็นเท็จ คนที่เลือกข้อนี้ตรวจแค่แถวที่ทุกตัวเป็นจริงแล้วสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
ง · ตรวจแถวเดียวแล้วสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
ผิด — ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เพราะเมื่อ q = T, r = F รูปนี้เป็นเท็จ คนที่เลือกข้อนี้ตรวจแค่แถวที่ทุกตัวเป็นจริงแล้วสรุปว่าเป็นสัจนิรันดร์
หลุมที่คนพลาดบ่อยในเรื่องตรรกศาสตร์
เหตุเท็จแล้วคิดว่าเงื่อนไขเท็จ
เงื่อนไขเป็นเท็จได้ทางเดียวคือเหตุจริง ผลเท็จ · ตาราง p→q ที่ถูกคือ T F T T และ ~q→~p ก็เป็น T F T T ทุกแถว
นิเสธข้างในโดยไม่สลับ ∧/∨
นิเสธเข้าวงเล็บ = นิเสธทุกข้าง และ สลับตัวเชื่อม ทดสอบด้วยสมาชิกที่ทำให้จริงข้างเดียว
คิดบนจำนวนจริงทั้งที่ U เป็นเซตจำกัด
อ่านเอกภพก่อนอ่านประโยค แล้วทดสอบเฉพาะสมาชิกที่โจทย์ให้ ไม่มีเศษส่วนถ้า U ไม่มีเศษส่วน
เชื่อคำให้การทุกคนเป็นข้อเท็จจริง
คำให้การเป็นเงื่อนไข ไม่ใช่ข้อเท็จจริง: 'ถ้าบีมพูดจริง ชินพูดเท็จ · ถ้าบีมพูดเท็จ ชินพูดจริง' ต้องสมมติก่อนเสมอ
สมมติผิดด้านแล้วไม่กลับไปตรวจ
ทุกชุดสถานะที่ได้ต้องตรวจย้อนครบทุกคน: สถานะ = ค่าความจริงของคำให้การของเขาเอง ถ้าขัดแย้งแม้คนเดียว ให้กลับไปสมมติด้านตรงข้าม
อ่าน "หรือ" แบบเลือกอย่างเดียว
∨ เป็นเท็จได้กรณีเดียวคือเท็จทั้งคู่ · p→q ≡ ~p∨q ตรงกันทุกแถว ตรวจแถว p = F, q = T: ทั้งสองรูปเป็นจริง
เจอข้อไหนเฉลยผิดหรือโจทย์กำกวม บอกเราได้ที่นี่
แนวข้อสอบหัวข้ออื่น
คณิตศาสตร์
สมการและอสมการเชิงเส้น · จำนวนและเลขยกกำลัง · กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง · เรขาคณิต (พีทาโกรัส · ความคล้าย · วงกลม · มุม) · พหุนามและการแยกตัวประกอบ · สมการกำลังสอง · อัตราส่วน ร้อยละ และโจทย์ปัญหา · สถิติ · พื้นที่ผิวและปริมาตร · ระบบสมการเชิงเส้น · อัตราส่วนตรีโกณมิติ · เรขาคณิตวิเคราะห์ · หลักการนับเบื้องต้น · ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม · ความน่าจะเป็น · จำนวนจริง (อสมการ · ค่าสัมบูรณ์ · กรณฑ์) · ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน · เซต · ลำดับและแบบรูป
วิทยาศาสตร์
พันธะเคมี (สภาพขั้ว · รูปร่างโมเลกุล · ไอออนิก) · แรงและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (รวมความโน้มถ่วงสากล)
